Mathematik für Maschinenbauer

1.2 Beweismethoden1. Induktionsanfang: A 1 ist wahr, denn1 + g =(1 + g) (1 − g)1 − g= 1 − g21 − g .2. Induktionsschritt: Sei n (irgendeine) natürliche Zahl, so dass A n wahrist. Wir haben zu zeigen, dass auch A n+1 wahr ist. Rechne:n+1∑g k =k=0n∑g k + g n+1k=0= 1 − gn+11 − gZerlegen+ g n+1 Induktionsvorauss. anwenden= (1 − gn+1 ) + g n+1 (1 − g)1 − g= 1 − gn+1 + g n+1 − g n+21 − g= 1 − g(n+1)+11 − ggemeinsamer BruchAssoziativitätBeispiel 1.2.1 Eine Anwendung der geometrischen Summe ist die Berechnungder Verzinsung auf einem Sparkonto.Jeweils am 1.1. eines Jahres wird eine Einzahlung 500 e geleistet. Der Jahreszinsbeträgt 4%.Wie hoch ist der Kontostand K 7 nach 7 bzw. K n nach n Jahren?K 1 = 500 · q = 520 mit q = 1 + 4100 = 1.04K 2 = (K 1 + 500) · q = 500 · (q 2 + q)K 3 = (K 2 + 500) · q = 500 · (q 3 + q 2 + q).K n = 500 · (q n + q n−1 + · · · + q 2 + q 1 )= 500 · q · (q n−1 + q n−2 + · · · + q 1 + q 0 )= 500 · q · 1 − qn1 − qK 7 = 500 · 1.04 · 1.047 − 11.04 − 1 ≈ 4107 eZinsgewinn = 4107 − 3500 = 607 e↑∑ Einzahlungen21