Mathematik für Maschinenbauer

1 Analysis und numerische Analysise x81 + x + x22 + x3 61 + x + x2 21 + x1xAbbildung 1.10: Die Exponentialfunktion und drei approximierende Polynome.Man kann also die Funktionen e x und exp(x) als völlig gleich behandeln.Einige Eigenschaften der Exponentialfunktion für x ∈ R, n ∈ Z:1. exp(−x) = 1exp(x)2. exp(nx) = (exp(x)) n3. x < y ⇒ exp(x) < exp(y), d.h. exp ist streng monoton steigend.4. exp(x) > 0Begründungen:zu 1.: exp(−x) exp(x) = exp(−x + x) = exp(0) = 1.zu 2.: Induktion und Satz 1.10.1.zu 3.: x < y ⇒ exp(y) = exp(x)·exp(y−x) > exp(x), denn es gelten exp(x) > 0und exp(t) > 1 für t > 0.zu 4.: exp(x) ≥ 1 für x ≥ 0 ⇒ exp(−x) > 0 für x ≥ 0.Aus der Reihendarstellung folgert man:Satz 1.10.2 Die Exponentialfunktion ist stetig.Besonders wichtig ist das Verhalten der e-Funktion für x → ±∞:Wegen e x ≥ 1 + x für x ≥ 0 folgt:limx→+∞ ex = +∞limx→−∞ ex =limx→+∞ e−x =limx→+∞1e x = 082