Mathematik für Maschinenbauer

1.17 Die TaylorformelMan leitet dies wie folgt her: (im WS 08/09 weggelassen!)∫ x( Hauptsatz der)f(x) − f(x 0 ) = f ′ (t) dtDifferential- undIntegral-Rechnung==x 0∫ xx 0∫ xx 01 · f ′ (t) dt(t − x) 0 · f ′ (t) dt= (t − x)f ′ ∣(t)∫∣ t=xx−t=x 0= −(x 0 − x)f ′ (x 0 ) +x 0(t − x)f ′′ (t) dt∫ x= (x − x 0 )f ′ (x 0 ) + f ′′ (z)x 0(x − t)f ′′ (t) dt∫ xx 0(x − t) dt= (x − x 0 )f ′ (x 0 ) + f ′′ (z) · 12 (x − x 0) 2 .( Vorbereitung derIntegration(Kunstgriff()))partielle Integration( verallgemeinerterMittelwertsatzIst f hinreichend oft differenzierbar, kann man die partiellen Integrationenfortsetzen. Bei (n+1)-maliger Differenzierbarkeit erhält man die Taylorformel:Sei f ∈ C n+1 (R). Ferner sei eine Stelle x 0 ∈ R gegeben. Diese Stelle nenntman den Entwicklungspunkt. Dann giltf(x) = f(x 0 ) + 1 1! f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + 1 2 f ′′ (x 0 )(x − x 0 ) 2Das Restglied R n ist gegeben durch+ · · · + 1 n! f (n) (x 0 )(x − x 0 ) n + R n (x; x 0 , f).∫ xR n (x; x 0 , f) = 1 (x − t) n f (n+1) (t) dtn!x 0=für eine Zwischenstelle z ∈ [x 0 , x].Man nenntT n (x) = T n (x; x 0 , f) =1(n + 1)! f (n+1) (z)(x − x 0 ) n+1n∑j=01j! f (j) (x 0 )(x − x 0 ) jdas Taylorpolynom von f bezüglich des Entwicklungspunktes x 0 . Man kanndie Taylorformel auch so schreiben:f(x) = T n (x) + R n (x))135