Mathematik für Maschinenbauer

1.1 Das Rechnen mit reellen ZahlenWegen der Assoziativität und der Kommutativität der Addition ist die Klammerungund die Reihenfolge der Summanden unerheblich. Man verwendet dasSummenzeichen, um endliche Summen anzugeben.n∑a k = a 1 + a 2 + · · · + a nk=1Eine Umbenennung des Summationsindex ändert die Summe nicht:n∑ n∑a k =k=1Eine Verschiebung des Summationsindex ändert ebenfalls die Summe nicht,wenn auch die Summationsgrenzen entsprechend verschoben werden, z.B.n−3∑j=−2a j+3 =j=1a jn∑a k .k=1Analog definiert man endliche Produkte durch(n∏n−1) ∏a k = a 1 · a 2 · · · a n = a k · a nk=1k=1Spezialfälle endlicher Produkte sind Fakultäten und Potenzen.Die Fakultät n! ist das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n, in Formeln:n∏n! := 1 · 2 · · · n = j mit dem Sonderfall 0! := 1j=1Eine Potenz a n ist definiert durchn∏a n := a } · a {{· · · a}= a mit dem Sonderfall a 0 := 1n Faktoren j=1Potenzen mit negativen Exponenten lassen sich nur für Basen a ≠ 0 betrachten.In diesem Fall gilt:a −n = (a −1 ) n mit a −1 = 1 aAus den gegebenen Definitionen und den Axiomen folgen die Potenzrechengesetze.Beispielhaft seien hier einige wichtige Rechengesetze angegeben:Aus 0 < a < b folgt 0 < a n < b n .(ab) n = a n b n ,a n+m = a n a m ,(a n ) m = a n mEine Umkehrung der Potenzierung ist das Wurzelziehen. Die n-te Wurzel auseiner reellen Zahlen a ≥ 0 ist eine nicht-negative Lösung x ≥ 0 der Gleichungx n = a. Solch eine Lösung wird dann mit x = n√ a = a 1/n bezeichnet. Im oftanzutreffenden Spezialfall n = 2 spricht man von einer Quadratwurzel.13