Mathematik für Maschinenbauer

1.4 Konvergenz reeller Zahlenfolgen1. Oft ist g ◦ f ≠ f ◦ g.2. Stets gelten:(f −1 ◦ f)(x) = x ∀x ∈ D(f)(f ◦ f −1 )(x) = x ∀x ∈ D(f −1 ) = B(f)Beispiel 1.3.8 g(x) = 1 x , f(x) = 3x4 + 2 mit D(g) = R \ {0} und D(f) = R(g ◦ f)(x) =13x 4 + 2(f ◦ g)(x) = 3x −4 + 21.4 Konvergenz reeller Zahlenfolgen1.4.1 GrundbegriffeAbbildungen a : N → R nummerieren Teilmengen reeller Zahlen durch: a(1), a(2), a(3), . . .Die grafische Darstellung sieht wie folgt aus:Ra(2)a(1)a(3)1 5 10 NSolche Abbildungen bezeichnet man als reelle Zahlenfolgen, kurz: Folgen. Esist üblich eine Indexnotation zu verwenden: a 1 = a(1), . . . , a n = a(n), . . . unddie Folge mit (a n ) n∈N , (a n ) ∞ n=1 oder nur (a n) zu bezeichnen.Häufig beginnt man eine Aufzählung, um eine Folge anzugeben:a 1 , a 2 , a 3 , . . .Eine andere Alternative ist die rekursive Definition, bei der man von einem odermehreren Startwerten a 1 , a 2 , . . ., a k ausgehend das jeweils folgende Folgengliedmit Hilfe einer Funktion f aus einem oder mehreren Vorgängern ermittelt:Beispiel(1.4.11(1)n)a 1 = c gegeben, a n+1 = f(a n )oder a 1 , . . . , a k gegeben, a n+1 = f(a n , a n−1 , . . . , a 1 )n∈N1, 1 2 , 1 3 , . . .(2) ((−1) n ) n∈N−1, 1, −1, 1, −1, . . .(3) −1, 1, 1, 1, . . . von (2) verschiedene Folge.31