3 Katalytische Performance der Mo/V(/W)-Mischoxide - tuprints

5.1.1.2 Randbedingungen
Um die partielle Differentialgleichung 5-2 zu lösen, sind Randbedingungen notwendig
(vgl. Kapitel 7.4.1.1). In Anwesenheit eines differentiellen Operators der Ordnung n
werden n Randbedingungen benötigt. Für eine DGL 2. Ordnung sind also zwei
Randbedingungen erforderlich.
Eine Randbedingung vom Typ "Dirichlet" schreibt am Eingang des Rohres für alle Zeiten
t eine Konzentration vor:
ci(0, t) = ci,0.
Diese Eingangskonzentration kann generell zeitabhängig sein. In vielen Fällen handelt es
sich aber um eine Konstante. Sobald Dispersion eine Rolle spielt, ist den
Randbedingungen besondere Aufmerksamkeit zu widmen, v. a. der Dirichlet-
Randbedingung. Der Eingangsstrom in den Reaktor ist so eingestellt, dass sich am
Anfang des Rohres eine bestimmte Konzentration ergibt (Gl. 5-3). Dabei wird allerdings
vernachlässigt, dass direkt nach Eintritt in den Reaktor Dispersion herrscht, die den
Eingangswert verändert. In diesem Fall ist eine Danckwerts-Randbedingung zu
bevorzugen (vgl. Kapitel 7.4.1.1):
∂ci
( 0,
t)
w
= − ( ci
∂x
D
ax
, 0
( t)
− c
( 0,
t))
,
mit der Strömungsgeschwindigkeit w und dem axialen Dispersionskoeffizienten Dax.
Hierin ist ci,0(t) die Konzentration im anströmenden Frischgas (bei x → - ∞) und ci(0,t) die
Konzentration im Eingangsquerschnittt der Katalysatorschüttung. Die Bedingung besagt,
dass die Differenz der Konvektionsströme, w·ci,0(t) – w·ci(0,t), gleich ist dem
Diffusionsstrom durch den Eingangsquerschnitt, –Dax(∂ci/∂x)x=0, längs des dort schon
ausgebildeten Konzentrationsgefälles.[Wic1975]
i
Unter Berücksichtigung axialer Dispersion (Dax ≠ 0) wird darüber hinaus eine zweite
Randbedingung benötigt. Diese beschreibt i. d. R. den Austritt aus dem Rohr über eine
Ableitung. Eine typische Kondition ist die so genannte Neumann-Randbedingung:
113
5-3
5-4