3 Katalytische Performance der Mo/V(/W)-Mischoxide - tuprints

178 Anhang
7.4.1.1 Lösen eines partiellen Differentialgleichungssystems
Um aus einem PDE-Modell kinetische Parameter durch Anfitten an die experimentellen
Daten abschätzen zu können, müssen zunächst die PDEs gelöst werden. Die generelle
Notation für eine örtlich eindimensionale PDE (erster Ordnung bzgl. der Zeit) ist
∂c
∂t
2
∂ ci
∂ci
( x,
t)
+ f 2 ( x,
t)
+ f3
( x,
t)
c f 4 ( x,
t)
2
i
∂x
∂x
i = f1
+
mit ci : Konzentration der Komponente
x : Ort
t : Zeit
fi(x,t) : Konstante oder Funktion der Zeit und/oder des Orts
Für jede Komponente i wird eine Differentialgleichung aufgestellt, so dass ein PDE-
System mit i Gleichungen zu lösen ist. Darüber hinaus müssen Hilfsbedingungen
spezifiziert werden, um das System zu komplettieren. Die Anzahl der geforderten
Hilfsbedingungen für jede unabhängige Variable entspricht dem Grad ihrer höchsten
Ableitung. Eine Hilfsbedingung für die Zeit ist üblicherweise für t = 0 spezifiziert – die
sogenannte Eingangsbedingung. Für die übrigen Variablen werden diese Bedingungen
meist für die erste und/oder letzte Position auf der Ortskoordinate spezifiziert. Sie werden
daher als Randbedingungen bezeichnet. Es gibt verschiedene Typen von Randbedingungen:
o Dirichlet-Randbedingung, wenn die unabhängige Variable (hier die
Konzentration) am Rand festgelegt ist, z. B.
ci(0,t) = ci,0. 7-9
o Danckwerts-Randbedingung
∂ci
( 0,
t)
w
= − ( c0
( t)
− c(
0,
t))
7-10
∂x
Dax
mit der Geschwindigkeit w und dem axialen Dispersionskoeffizienten Dax ist für
den Eingangsstrom in einen Reaktor immer dann der Dirichlet-Randbedingung
vorzuziehen, wenn Dispersion eine entscheidende Rolle spielt, da letztere
vernachlässigt, dass direkt nach Eintritt in den Reaktor Dispersion die
Eingangskonzentration verändert.[Wul2005, Bae1987] Für Systeme mit geringer
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