3 Katalytische Performance der Mo/V(/W)-Mischoxide - tuprints

182 Anhang
1 1
k 1 = hf ( tn
, yn
)
k2 = hf ( tn
+ h,
yn
+ k1)
2 2
1 1
1
= hf ( tn
+ h,
y + k2
) k4 = hf ( tn
+ h,
yn
+ k3
)
2 2
2
k3 n
y n +
1 = y n
1 5
1 2 3 4 + O(
h
+ k
6
1
+ k
3
1
+ k
3
1
+ k
6
O(h 5 ) ist das Dämpfungsglied dieser Methode.
Runge-Kutta-Verfahren verfolgen eine einfache aber klevere Idee: Die eindeutige Lösung
eines Startwertproblems kann man sich als einzelne Integralkurve denken. Aufgrund der
Dämpfung O(h 5 ) und des Rundungsfehlers wandert die numerische Lösung die
Integralkurve ab. Die numerische Lösung wird beeinflusst durch das Verhalten dieser
benachbarten Kurven. Runge-Kutta-Verfahren sammeln so Informationen über diese
Kurven durch Lösung der Ableitungen, indem sie Euler-Schritte an Probepunkten (h/2)
durchführen. Der letzte Schritt ist wiederum ein Euler-Schritt (letzter Teil der Gl. 7-17),
der das gewichtete Mittel der Probeschritte k1 bis k4 benutzt. So sendet das Runge-Kutta-
Verfahren Fühler in den Lösungsraum, um Proben der Ableitungen zu sammeln, bevor
entschieden wird, in welche Richtung ein Euler-Schritt durchgeführt wird. Bei
sogenannten eingebetteten Verfahren werden Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung p und
p+1 abgeleitet, die den gleichen Satz von Vektoren (ki) enthalten.[Lin1997] Die Differenz
zwischen den Werten für yn+1 beider Verfahren dient zur Abschätzung des
Dämpfungsfehlers. Umkehrt wird diese Information benutzt, um die Schrittweite zu
kontrollieren, da der Fehlerterm durch die Schrittweite bestimmt wird. Eine solche
adaptive Schrittweitenregulierung ermöglicht die Kombination aus hoher Genauigkeit
und Rechengeschwindigkeit.
)
Ein Nachteil der auf expliziten Euler-Verfahren beruhenden Methoden besteht allerdings
darin, dass sie keine steifen ODE-Systeme lösen können – also Systeme bei denen eine
Komponente der Lösung viel schneller fällt als andere. Eine Klasse impliziter linearer k-
Schritt-Methoden zur Lösung steifer Systeme sind die Rückwärts-Differentiations-
Formeln (BDF – Backward Differentiation Formulas). [Lin1997]. Das implizite Euler-
Verfahren (Gl. 7-16) ist die einfachste Einschritt-BDF. Dabei wird die Ableitung durch
7-17