Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...

8.2.3 Methode der kleinsten Quadrate (LS-Verfahren)
ANHANG
Wenn die Daten, eine Modellstruktur und eine Verlustfunktion festgelegt sind, verbleibt die
Aufgabe, die optimalen Modellparameter zu ermitteln. Ist die Verlustfunktion V quadratisch
und der Prädiktor ˆy linear in den Parametern, so ist eine lineare Optimierung möglich. Da
die Lösung der linearen Optimierung z.B. mit der Methode der kleinsten Quadrate (engl.:
method of least squares) bzw. LS-Schätzung sehr einfach und schnell zu berechnen ist,
wird meist versucht, diese Situation zu erreichen [Nel01]. Von einem diskreten System mit
Nu Eingängen 9 u(k) = (u1(k), · · · , uNu(k)), einem Ausgang yu(k) und der
Systemgleichung yu(k) = f(u(k)) (8.1)
werden k = 1, · · · , N Beobachtungen (Stichproben, Samples) der exakten Eingangswer-
te u(k) und der verrauschten Ausgangswerte y(k) = yu(k) + w(k) gemacht. Aus diesen
Stichproben soll jetzt für eine
Nθ
Regressionsfunktion ˆy(k, θ) = θl · xl(u(k)) = x(u(k)) · θ , (8.2)
mit x(u(k)) := ( x1(u(k)), x2(u(k)), · · · , xNθ (u(k)) ), welche linear in den Parametern ist,
der „bestmögliche“
l=1
Parametervektor θ := (θ1, θ2, · · · , θNθ )T
aus mindestens N = Nθ verschiedenen Stichproben bestimmt werden.
Dafür wird zunächst die aus der Regressionsfunktion resultierende
Regressionsmatrix Λ :=
⎛
⎜
⎝
x(u(1))
.
x(u(N))
und der aus den N Messungen gebildete
definiert, sowie der daraus folgende
gebildet.
⎞
⎛
⎟
⎠ =
⎜
⎝
Ausgangsdatenvektor y :=
x1(u(1)) · · · xNθ (u(1))
.
. .. .
x1(u(N)) · · · xNθ (u(N))
⎛
⎜
⎝
y(1)
.
y(N)
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
(8.3)
(8.4)
(8.5)
Modellausgangsvektor ˆy(θ) = Λ· θ (8.6)
9 Mit dem Ansatz der externen Dynamik, also unter Verwendung verzögerter Ein- und Ausgangswerte als u, ist
der LS-Schätzer auch für dynamische Modelle, welche linear in den Parametern sind (ARX-Modell), einsetzbar.
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