Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...

4 MODELLIERUNG MIT DEM SLIDING-MODE-BEOBACHTER
Mit der Sliding-Mode-Regelung soll der Zustandsvektor x(t) einem Referenzvektor xd(t) in
Anwesenheit einer unbekannten Störung d(t) möglichst folgen. Und zwar soll die Annah-
me
e(t) = x(t) − xd(t) := 0 für t = 0 (4.6)
getroffen werden, um den Einschwingvorgang am Anfang der Regelung zu vermeiden. Da-
bei ist e = [e(t) ˙e(t) . . . e (n−1) (t)] T die Regelabweichung. Zur Auslegung des Sliding-Mode-
Reglers wird eine zeitvariable Schaltfläche S(t) (engl.: sliding surface) [SHM87, Ger11]:
S(t) : s(x(t)) = 0 mit s(x(t)) = ( d
d t + λ)n−1 e(t), λ > 0 (4.7)
im Zustandsraum R n definiert. Dabei ist λ ein Entwurfsparameter, dessen Wahl in [SL91]
vorgeschlagen wird. Die Gleichung (4.7) bedeutet, dass e(t) auf der Schaltfläche S(t) ex-
ponentiell (Zeitkonstante (n − 1)/λ) abnimmt. Mit der Annahme (4.6) entspricht das verein-
fachte Regelungsziel der Stabilisierung des Systems (4.2) in s(x(t)) für t > 0. Somit wird
das Regelgesetz u(t) für (4.2) so gewählt, dass die folgende hinreichende Bedingung
1 d
2 d t s2 (x(t)) ≤ −η |s(x(t))| (4.8)
erfüllt wird, um die skalare Beziehung s(x(t)) = 0 zu erreichen. Dabei ist η eine positive
Konstante. Diese Ungleichung (4.8) wird als Sliding-Bedingung bezeichnet und führt alle
Trajektorien des Systems immer in Richtung der Schaltfläche. Wenn die Schaltfläche einmal
erreicht wurde, verlassen die Trajektorien diese Fläche nicht mehr. In Abbildung 4.1 wird
die Sliding-Mode-Regelung für das System (4.2) und n = 2 graphisch dargestellt. Aus je-
dem Anfangszustandswert x0 werden die Zustandstrajektorien x(t) in endlicher Zeit auf die
Schaltfläche S(t) gebracht, die nach (4.7) als eine Gerade mit der Steigung −λ in der x(t)
und ˙x(t) Ebene definiert ist. Sobald die Schaltfläche erreicht wurde, gleiten die Systemzu-
stände x(t) auf der Fläche S(t) in einem Abstand von e(t) zu xd(t) und konvergieren gegen
xd(t). Die Stellgröße u(t) für (4.2) besteht gewöhnlich aus zwei Teilen:
Erreichen der Schaltfläche
in endlicher Zeit
Abbildung 4.1: Sliding-Mode-Regelung für ein System (2. Ordnung)
u(t) = ueq
+ un
kontinuierlicher Teil unstetiger Teil
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(4.9)