Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...

5 EMPIRISCHE MODELLIERUNG MIT EINEM PWA-MODELLANSATZ
Clusterung nicht für große und reale Datensätze geeignet ist, ist diese Methode auf die rea-
len Systeme schwierig anwendbar [NTK05]. Zur Modellierung der Systeme mit Reibung mit
PWA-Modellen wurde eine Bestückungsmaschine als Fallstudie mit den o.g. Ansätzen un-
tersucht [JHFT + 05]. Ergebnisse zeigen, dass die Reibeffekte an der Bestückungsmaschine
nicht gut erfasst wurden.
Angeregt durch die Konzepte in [FTMLM03, NTK05] wird eine neue Identifikationsmethode
zur Modellierung der stückweise affinen Modelle für Systeme mit Reibung vorgestellt. In
dieser Methode werden die Merkmale in Hinblick auf Reibeffekte ausgewählt. Außerdem
wird der klassische c-Means-Algorithmus verwendet, welcher bedienfreundlich, effizienter
und geeignet für große und reale Datensätze ist. Im Gegensatz zu anderen Methoden, sind
bei dieser Methode wenige Entwurfsparameter einzustellen und sie ist für reale Systeme mit
Reibung besser verwendbar. Eine weitere Neuigkeit der vorgestellten Methode liegt darin,
dass die Kombination der Clustervaliditätsmaße und Modellprädiktionsfehler zur Festlegung
der Anzahl der Teilmodelle benutzt wird. Und zwar optimiert die vorgestellte Methode die
Parameter der lokalen Teilmodelle mit der parallelen Identifikation.
5.2 Modellstruktur
PWA-Modelle mit disjunkten Partitionen finden insbesondere Einsatz für schaltende hybri-
de Systeme. Für eine vorgegebene Partitionierung folgen i.d.R. unstetige Übergänge. Die
Partitionierung besteht aus polyedrischen Teilgebieten, die sich bei PWA-Modellen lücken-
los zum Beschreibungsraum zusammenfügen. Als eine typische Struktur der PWA-Modelle
wird ein stückweise affines autoregressives exogenes (PWARX-) Modell in dieser Arbeit zur
Modellierung der Systeme mit Reibung verwendet. Ein PWA-Modell gilt
⎧
⎪⎨
f(X(k)) =
⎪⎩
mit dem Regressor (falls keine Totzeit):
θ T 1
θ T c
X(k)
1
, wenn X ∈ χ1
.
X(k)
, wenn X ∈ χc
1
X(k) = [y(k − 1) y(k − 2) . . . y(k − na) u(k − 1) u(k − 2) . . . u(k − nb)] T
(5.1)
(5.2)
wobei na und nb die Ordnung für y und u, {θi} c
i=1 die Parameter und χ ∈ Rna+nb ein begrenztes
Polyeder des Regressors X darstellen. Dabei wird der Beschreibungsraum durch Hyper-
ebenen bzw. Trennflächen in die polyedrischen Partitionen {χi} c
i=1 unterteilt. Im einfachsten
Fall wird eine Hyperebene genutzt. Die binäre Klassifikation eines Datums entspricht der
Beantwortung der Frage, auf welcher Seite der Hyperebene der Datenpunkt liegt. Dabei
wird die folgende Funktion
h(X) = X T · w + b0
69
(5.3)