Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...

5 EMPIRISCHE MODELLIERUNG MIT EINEM PWA-MODELLANSATZ
sprünglichen Regressors X(k) mit einer Matrix W2×3:
ξ(k) = W2×3 · X(t)
1 −1 0
=
· y(k − 2)
0 0 1
y(k − 1) u(k − 1)
= (y(k − 2) − y(k − 1)) u(k − 1)
T T
(5.6)
In Abbildung 5.3 können die Bereiche für y(k − 1) − y(k − 2) = 0 die dynamischen Be-
triebsphasen beschreiben. Die statischen Betriebsphasen werden in den Bereichen für y(k−
1) − y(k − 2) ≈ 0 erfasst. Basierend auf den ausgewählten Merkmalsvektoren ξ werden
verschiedene Betriebsphasen mit einer Clusterungsmethode in der nächsten Phase klassi-
fiziert.
5.3.2 Clusterung der Merkmalsvektoren und Schätzung der Anzahl der Teilmodelle
Eine Methode zur Suche nach Mustern in Form von Häufungen in Datenmengen sind die
so genannten Clusterverfahren. Ein Cluster ist ein Bereich hoher Datendichte bzw. eine
Anhäufung von Daten. Dabei sollten Daten, die zu einem Cluster gehören, möglichst ähnlich
und Daten, die zu verschiedenen Clustern gehören, möglichst unähnlich sein.
Eine Clusteranalyse bzw. Clusterung untersucht eine Datenmenge (Objektmenge) auf das
Vorhandensein von Strukturen/Clustern/Datenhäufungen. Das Verfahren liefert einen Vor-
schlag, welche Daten zu einem Cluster zusammengefasst werden sollten. Sie weisen jedem
Datum einen Zugehörigkeitswert zu diesen Clustern zu, sie „klassifizieren“ die Daten also.
Das Clusterverfahren arbeitet im Allgemeinen nach dem Prinzip des unüberwachten Ler-
nens. In dieser Arbeit wird ein c-Means-Algorithmus zur rechnerisch effizienten Zuordnung
der Merkmalsvektoren zu c Clustern verwendet [Mac67].
Gegeben seien N Merkmalsvektoren ξj, j ∈ {1; . . . ; N}, die zu c Clustern zusammenge-
fasst werden sollen, sowie die Euklidische Norm als Abstandsmaß ·, mit dem der Ab-
stand d zweier Punkte berechnet werden kann. Das Problem, Daten, die nah beieinander
aber relativ weit entfernt von anderen Punkten liegen, zu Clustern zusammenzufassen, kann
als Optimierungsaufgabe formuliert werden. Der c-Means-Algorithmus liefert die Lagen der
Clusterzentren vi, j ∈ {1; . . . ; c} und die Zugehörigkeiten aller Datenpunkte zu den Clustern,
so dass die folgende Kostenfunktion minimiert wird:
Jc−Means({vi} c
i=1 ) =
N
j=1 i=1
c
ξj − vi2 (5.7)
Dabei soll jeder Datenpunkt genau einem Cluster zugeordnet werden. Diese Optimierungs-
aufgabe kann durch iterative Lösung zweier reduzierter Probleme gelöst werden: Für eine
gegebene Lage der Clusterzentren wird ein Datum vollständig dem Cluster zugeordnet, zu
dessen Clusterzentrum es den geringsten Abstand hat. Praktisch werden Clusterzentren
und Zugehörigkeiten startend von einer Anfangsannahme iterativ ermittelt. Dabei werden
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