Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...

4 MODELLIERUNG MIT DEM SLIDING-MODE-BEOBACHTER
Der kontinuierliche Teil ueq(t) wird so gewählt, dass die Systemdynamik im Gleitzustand der
durch S(t) vorgegebenen Dynamik entspricht [Ger11]. Sehr oft wird un(t) als ein unstetiger
Zweipunktregler
un(t) = −ρ sgn(s(x(t))) (4.10)
mit einer Verstärkung ρ > 0 zur Ausregelung von Modellunsicherheiten, Störungen und
Parameterschwankungen implementiert. Sind die Modellunsicherheiten, Störungen und Pa-
rameterschwankungen groß, soll der positive Skalar ρ auch entsprechend groß gewählt wer-
den, um die Gleitbewegung auf der Schaltfläche zu gewährleisten.
Sehr oft tauchen beim Sliding-Mode-Beobachter Ratterschwingung (engl.:chattering vibrati-
on) wegen häufigem Schalten auf. Dieser unerwartete Rattereffekt kann zur Instabilität bei
der Regelung führen [Ger11]. Zur Unterdrückung der Ratterschwingung kann eine Grenz-
schicht um S(t) eingeführt werden, die durch eine kontinuierliche Approximation der unsteti-
gen Schaltfunktion un(t) realisiert wird. Zur Approximation schlagen Edwards und Spurgeon
in [ES98] für den skalaren Fall eine Funktion
νδ =
s
(|s| + δ)
(4.11)
vor, wobei δ den Grad der Approximation bestimmt. Bei der Wahl von δ soll ein Kompro-
miss zwischen hoher Folgegenauigkeit und harten Schaltübergängen getroffen werden. In
Abbildung 4.2 wird die Wahl durch zwei Approximationen mit unterschiedlichem Wert von δ
anschaulich geklärt.
0.5
0
− 0.5
− 1
4.2.2 Sliding-Mode-Beobachter
1
sgn(s(x(t)))
Approximation I
Approximation II
− 2 − 1.5 − 1 − 0.5 0
s(t)
0.5 1 1.5 2
Abbildung 4.2: Approximation der Signum-Funktion [Ger11]
Das Entwurfsverfahren des Sliding-Mode-Beobachters beinhaltet die Berechnung von Be-
obachterverstärkungsmatrizen, die das Erreichen einer Gleitfläche (Sliding Surface) in endli-
cher Zeit sowie den Gleitzustand auf dieser in Gegenwart begrenzter Unsicherkeit garantie-
ren. Während dieses Gleitens beträgt der Fehler zwischen System- und Beobachterzustän-
den ex(t) = x(t) − ˆx(t) 2 nahezu Null bzw. ist in dieser Phase der Sliding-Mode-Beobachter
robust gegenüber begrenzten Störungen. Die Struktur des Sliding-Mode-Beobachters für
2 Im Vergleich zu Gleichung (4.6) entspricht hier x(t) dem Sollwert xd(t) und ˆx(t) hat die Rolle von x(t).
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