Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...

in die neue Zustandsraumdarstellung
transformiert.
4 MODELLIERUNG MIT DEM SLIDING-MODE-BEOBACHTER
˙zx(t) = A11zx(t) + A12zy(t) + B1u(t)
˙zy(t) = A21zx(t) + A22zy(t) + B2u(t) + D2ψ(t) (4.17)
y(t) = Cz(t)
4.2.2.2 Entwurf des Sliding-Mode-Beobachters
Mit der neuen Zustandsraumdarstellung des Systems lautet die Struktur des Sliding-Mode-
Beobachters [ES98, Ger11, PKP09]:
˙ˆzx(t) = A11ˆzx(t) + A12ˆzy(t) + B1u(t) − A12ey(t)
˙ˆzy(t) = A21ˆzx(t) + A22ˆzy(t) + B2u(t) − (A22 − A s 22)ey(t) + ν(t) (4.18)
ˆy(t) = Cˆz(t)
mit ey(t) = ˆy(t) − y(t), der stabilen Entwurfsmatrix A s 22 ∈ Rp×p und dem diskontinuierlichen
Schaltvektor ν(t)
ν(t) =
−ρ D2 P2ey(t)
P2ey(t) , falls ey = 0
0, sonst
(4.19)
In Gleichung (4.19) ist ρ ein positiver Skalar und P2 ∈ R p×p die s.p.d. Lösung der Lyapunov-
gleichung mit der s.p.d. Entwurfsmatrix Q2 ∈ R p×p :
(A s 22) T P2 + P2(A s 22) = −Q2
Die Gleitfläche ist definiert durch die Hyperebene [ES98, Ger11]
(4.20)
S(t) = {ez(t) ∈ R n : Cez(t) = 0} , (4.21)
die durch ez(t) = [ezx ey(t)] T aufgespannt wird. Die folgenden Fehlerdifferenzialgleichungen
erfolgen mit C = [0 Ip]:
˙ezx(t) = A11ezx
˙ey(t) = A21ezx(t) + A s 22ey(t) + ν(t) − D2ψ(t) (4.22)
Theorem 1: Das nichtlineare Fehlerdifferenzialgleichungssystem (4.22) ist quadratisch stabil
und eine Gleitbewegung auf der Gleitfläche S(t) 4 findet statt, sodass in endlicher Zeit der
Zustand ey(t) = 0 erreicht wird.
Der Beweis von Theorem 1 ist in [ES98, Ger11] angegeben. Die Verstärkungsmatrizen aus
Gleichung (4.12) lassen sich dabei durch Rücktransformation mit T −1 in nicht transformier-
4 Dabei ist S(t) nach (4.7) definiert und kann durch Vorgabe von Entwurfsparameter λ gewählt werden (siehe
Abschnitt 4.2.1).
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