Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...

5 EMPIRISCHE MODELLIERUNG MIT EINEM PWA-MODELLANSATZ
5.3.4 Schätzung der Trennfläche
Mit der Klassenvorgabe, in der die Objekte im Merkmalsraum durch c-Means-Algorithmus
Klassen zugeordnet wurden, werden die Trennflächen zwischen Klassen in dieser Stufe
bestimmt. Das Ziel besteht also darin, den Merkmalsraum durch Trennflächen in die zu
den einzelnen Klassen gehörenden Bereiche zu teilen. Die Komplexität der Teilungsaufgabe
hängt davon ab, wie einfach die einzelnen Bereiche separierbar sind. Günstig sind disjunkte
Klassen. Eine lineare Separierbarkeit der einzelnen Bereiche vereinfacht die Aufgabe sehr.
In der linearen Separierung werden die Klassengrenzen auch Hyperebenen genannt.
Zur Trennflächenschätzung wird ein Support-Vector-Machine-Algorithmus (SVM) als Klassi-
fikator verwendet. Der SVM-Algorithmus bezeichnet ein überwachtes Lernverfahren zur au-
tomatischen Klassifizierung von Merkmalen und Bildung der Klassengrenzen. Eine Support-
Vector-Machine unterteilt eine Menge von Mustern so in Klassen, dass um die Klassengren-
zen herum ein möglichst breiter Bereich frei von Mustern bleibt [Vap98]. Dabei werden bei-
spielsweise für zwei Klassen in Abbildung 5.5 zwei gegensätzliche Punkte betrachtet, die
auf dem Rand liegen. Die Ränder von χ1 und χ2 sind definiert als
X T 1 · w + b0 = 1 (5.8)
X T 2 · w + b0 = −1 (5.9)
Wie in Abbildung 5.5 zu erkennen, trennen die beiden Ränder die beiden Klassen. Aus
Gleichung (5.8) und (5.9) folgen dann zu
· w + b0
(5.8) ⇒ XT1 w2 · w + b0
(5.9) ⇒ XT2 w2 = 1
w2 = −1
w2 Die beiden Gleichungen (5.10) und (5.11) werden zusammengeführt
XT 1 · w − XT2 w2 · w
= 2
w 2
(5.10)
(5.11)
(5.12)
Es stellt sich heraus, dass der Abstand der Ränder (auf der linken Seite der Gleichung
(5.12)) nur von der 2-Norm von w abhängig ist. Deshalb muss, um den Abstand der Ränder
zu maximieren, w 2 also minimiert werden. Darüber hinaus erfolgt die Schätzung von w
und b0 der Trennflächen mit dem SVM-Algorithmus durch Optimierung der folgenden qua-
dratischen Kostenfunktion mit linearen Nebenbedingungen [Vap98].
minimiere bezüglich w, b0 : 1
2 w 2
so dass yi · (X T · wi + b0) ≥ 1 für 1 ≤ i ≤ N gilt (5.13)
Sind mehr als zwei Bereiche zu separieren, so wird im Allgemeinen zur Abtrennung jedes
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