Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...

4 MODELLIERUNG MIT DEM SLIDING-MODE-BEOBACHTER
darin, den Ausgangsfehler bzw. das „Residuum“ e(t) = y(t) − ˆy(t) als Fehlerdetektor zu
verwenden. Nach einer Übergangsphase durch z.B. unterschiedliche Anfangsbedingungen
soll e(t) im Normalzustand des Systems gleich Null und beim Auftreten eines Fehlers von
Null verschieden sein. Aufgrund unvermeidbarer Modellierungsfehler, Störungen und Rau-
schen liegt typischerweise auch im fehlerfreien Fall ein geringer Unterschied zwischen den
aktuell gemessenen und berechneten Größen vor, d.h. e(t) ist entgegen der idealen Annah-
me ungleich Null. Dieser Ansatz ist in [ES98] als equivalent output error injection approach
bezeichnet.
Zum Entwurf des Sliding-Mode-Beobachters ist eine Zustandsraumdarstellung der Modelle
in kanonischer Form notwendig, um nicht meßbare Zustände voneinander zu trennen und
darauf basierend den Sliding-Mode-Beobachter stabil und robust auszulegen. Im Allgemei-
nen spielt die Zustandsraumdarstellung der Modelle in der modernen Systemtheorie eine
bedeutende Rolle, vor allem für die Analyse, Simulation und Regelung komplexer Systeme.
Mit der Zustandsraumdarstellung treten die inneren Zustände der Systeme in Erscheinung.
Die identifizierten Modelle in Ein-/Ausgangsform sollen für die Verwendung in eine geeigne-
te Zustandsraumdarstellung formiert werden, um die Systemeigenschaften zu analysieren
und die Regler auszulegen. Beispielweise kann ein unsicheres dynamisches System be-
schrieben werden durch
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + Dψ(t)
y(t) = Cx(t) (4.1)
wobei die Matrizen A ∈ R n×n , B ∈ R n×m , D ∈ R n×q die Systemmatrix, die Steuermatrix
und die Verteilungsmatrix der unbekannten Eingänge darstellen. Die unbekannten Eingän-
ge ψ ∈ R q präsentieren die Unsicherheiten und Nichtlinearitäten des Systems. Man nehme
an, dass B, D und die Ausgangsmatrix C ∈ R p×n vollen Zeilenrang besitzen und ψ unbe-
kannt aber begrenzt ist. Basierend auf der Zustandsraumdarstellung kann der Sliding-Mode-
Beobachter entworfen werden und die Reibung wird als unbekannter Eingang während der
Gleitbewegung der Systemzustände auf der Schaltfläche geschätzt.
Für die Modellstrukturermittlung wird ein asymmetrisches statisches Reibmodell genutzt,
das ähnlich wie das in Abschnitt 3 verwendete Reibmodell ist. Wie in Abschnitt 2.3 erwähnt,
können statische Modelle aus der stationären Beziehung zwischen Geschwindigkeit und
Reibung abgeleitet werden. Manchmal sind komplexe Modelle notwendig, um die komple-
xen Reibungseffekte wie z.B. Stick-Slip-Effekt besser zu erfassen. Aber die Identifikation der
komplexen Reibmodelle benötigt oft präzise Vorkenntnisse des Zielsystems oder aufwändi-
ge Experimente. Weiterhin zeigen die experimentellen Ergebnisse für eine Drosselklappe,
dass ein statisches Reibmodell, das mit wenig Aufwand aus den Ein-/Ausgangsmessungen
im offenen Regelkreis identifiziert wurde, eine gute Güte erreichen und die wesentlichen
Reibeffekte erfassen kann. Eine ausführliche Diskussion über die Auswahl der Reibmodelle
erfolgt bereits in Abschnitt 3.2.1. Im Fall der Stellglieder hat das Modell elektronische und
mechanische Komponenten, die in der Regel eine einfache Struktur besitzen. Die gesamte
Komplexität der Modellierung für ein System mit Reibung wird damit reduziert.
Die Parametrierung des zu verwendenden statischen Reibmodells erfolgt mittels der rekon-
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