Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...
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4 MODELLIERUNG MIT DEM SLIDING-MODE-BEOBACHTER<br />
4.3.1 Zustandsraumdarstellung der physikalischen Stellgliedmodelle<br />
Zunächst soll die physikalische Modellgleichungsdarstellung (3.7) in Ein-/Ausgangsform<br />
(siehe Abschnitt 3.2.2) in Zustandsraumdarstellung formiert werden, um den Sliding-Mode-<br />
Beobachter in der nächsten Stufe zu entwerfen:<br />
<br />
(3.7) ⇒<br />
˙ϕ(t)<br />
¨ϕ(t)<br />
=<br />
0<br />
−<br />
1<br />
kF<br />
<br />
J<br />
<br />
kEMK<br />
J<br />
·<br />
<br />
ϕ(t)<br />
˙ϕ(t)<br />
<br />
+<br />
<br />
+<br />
0<br />
+<br />
0<br />
1<br />
· MR<br />
J<br />
kF<br />
J · ϕo + Mo<br />
J<br />
0<br />
− kM<br />
J<br />
<br />
· u(t) (4.27)<br />
(4.28)<br />
wo<strong>bei</strong> der Zustandsvektor x(t) = [ ϕ(t) ˙ϕ(t) ] T sich aus der Winkelposition und der Win-<br />
kelgeschwindigkeit der <strong>Stellglieder</strong> zusammensetzt. Weil die konstanten Terme in der Zu-<br />
standsraumdarstellung typischerweise <strong>bei</strong> Systemanalyse und Reglerentwurf nicht analy-<br />
tisch berücksichtigt werden, soll die Gleichung (4.28) in eine minimale Zustandsraumdar-<br />
stellung transformiert werden. Durch Betrachtung der konstanten Terme als Offsets am Ein-<br />
gangssignal u(t) kann das Problem umgangen werden [Kro04]. Da<strong>bei</strong> folgt die neue mini-<br />
male Zustandsraumdarstellung wie folgt:<br />
(4.28) ⇒<br />
<br />
˙ϕ(t)<br />
¨ϕ(t)<br />
<br />
=<br />
<br />
0 1<br />
− kF<br />
J<br />
kEMK<br />
J<br />
<br />
·<br />
<br />
ϕ(t)<br />
˙ϕ(t)<br />
<br />
+<br />
<br />
0<br />
− kM<br />
J<br />
<br />
· u ′ (t) +<br />
<br />
0<br />
1<br />
<br />
· MR<br />
J<br />
(4.29)<br />
wo<strong>bei</strong> das neue Eingangssignal durch u ′ (t) = u(t) − kF · ϕ0/kM − M0/kM gegeben ist. Des-<br />
halb lassen sich die <strong>Stellglieder</strong> durch das folgende Zustandsraummodell beschreiben.<br />
<strong>mit</strong> den Matrizen<br />
<br />
0 1<br />
A =<br />
− kM<br />
J<br />
kEMK<br />
J<br />
˙x(t) = Ax(t) + Bu ′ (t) + dψ(t)<br />
y(t) = c T x(t) (4.30)<br />
<br />
<br />
, B =<br />
0 − kM<br />
J<br />
T<br />
, c T <br />
= 1 0<br />
<br />
, d =<br />
0 1<br />
T<br />
(4.31)<br />
Da<strong>bei</strong> wird der unbekannte <strong>Reibung</strong>sterm MR<br />
J durch ψ(t) beschrieben. Die in Abschnitt 3<br />
identifizierten Parameterwerte anderer Komponenten inkl. Gleichstrommotor und Feder kön-<br />
nen hier direkt verwendet werden.<br />
4.3.2 Entwurf des Sliding-Mode-Beobachters und Schätzung der <strong>Reibung</strong><br />
Um messbare und nicht messbare Zustände voneinander zu trennen und einen stabilen und<br />
robusten Sliding-Mode-Beobachter auszulegen, wird die Zustandsraumdarstellung (4.30) in<br />
kanonische Form überführt. Basierend auf der kanonischen Modellform kann der Sliding-<br />
Mode-Beobachter (4.12) anschließend entworfen werden. Details zum Entwurf des Sliding-<br />
Mode-Beobachters sind in Abschnitt 4.2.2 angegeben. <strong>Zur</strong> Erfüllung der Rangbedingung<br />
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