Zur Identifikation mechatronischer Stellglieder mit Reibung bei ...

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3 Semi-physikalische Modellierung 3.1 Einleitung 3 SEMI-PHYSIKALISCHE MODELLIERUNG Bei der Hardware-in-the-loop-Simulation von PKWs sind dynamische, parametrische Simu- lationsmodelle zur Abbildung der Stellglieder moderner Dieselmotoren notwendig. Wegen der Komplexität der Reibung spielt die Modellierung mechatronischer Systeme mit Reibung immer eine kritische Rolle. Dies motiviert, zuverlässige, einfach zu bedienende und effiziente Algorithmen zu entwickeln, welche eine Identifikation von genauen dynamischen Modellen ermöglichen. Die im Folgenden behandelten Ansätze betreffen die semi-physikalische Mo- dellbildung. Die Modellstruktur eines semi-physikalischen Modells nimmt normalerweise Be- zug auf natur- oder ingenieurwissenschaftliche Gesetzmäßigkeiten wie z.B. Erhaltungssätze von Bilanzen für Masse, Energie und Impuls. Häufig lässt sich ein dynamisches System bei der Modellierung durch gewöhnliche inhomogene Differenzialgleichungen (DGL) beschrei- ben, die sich mit der Zeit t als Variable und den Parametern θ = (θ1, . . . , θNθ )T in impliziter Form als f(t, y(t), ˙y(t), · · · , y (n) (t), u(t), ˙u(t), · · · , u (m) (t), θ) = 0 (3.1) darstellen lassen. Kann diese Gleichung nach y (n) (t) aufgelöst werden, so erhält man die explizite Form y (n) = f(t, y, ˙y, · · · , y (n−1) , u, ˙u, · · · , u (m) , θ). Als Ordnung n der DGL wird die höchste auftretende Ableitung bezeichnet. Physikalisch ist das die Anzahl der unabhängigen Speicher im System. Diese können mathematisch als Integratoren dargestellt werden. Jeder dieser Integratoren hat einen Zustand (aktuellen Wert), so dass das System n Zustände hat. Zum Zeitpunkt t0, dem Beginn der Betrachtung, haben die Zustände die Anfangswerte y (i) (t0) = yi0 , i = 0, · · · , n − 1. Damit ist die Lösung der DGL ein Anfangswertproblem [Unb08]. Hat eine DGL die Form (3.2) so ist sie linear in den Parametern (LiP). y (n) Nθ = θl · fl(y, · · · , y (n−1) , u, · · · , u (m) ) (3.2) l=1 Anmerkung: Die Funktion fl(·) hat keine Parameter, sondern ist nur eine Funktion von y und u und deren Ableitungen. Weil ein zeitdiskretes Modell für die numerische Auswertung wie z.B. HiL-Echtzeitsimulation erforderlich ist, soll das zeitkontinuierliche System für die vorgegebenen Zeitpunkte k · TA , k ∈ Z (im Weiteren nur noch k) diskretisiert und die DGL in eine Differenzengleichung (explizite Form) y(k) = f (y(k − 1), · · · , y(k − n), u(k − 1), · · · , u(k − m), θ) (3.3) überführt werden [Ise87, Unb08]. In diesem Abschnitt werden zwei robuste semi-physikalische Ansätze zur automatisierten Modellbildung der Stellglieder am Dieselfahrzeug vorgestellt. Einfache physikalische Prinzi- pien werden für die Modellstrukturermittlung genutzt. Dabei werden Bilanzgleichungen und physikalische Verhaltensmodelle für die elektrischen und mechanischen Komponenten ver- 23
3 SEMI-PHYSIKALISCHE MODELLIERUNG wendet und die Reibung durch ein statisches Reibmodell abgebildet. So kann ein nichtlinea- res Modell in Form einer Differentialgleichung 2. Ordnung mit Fallunterscheidungen abge- leitet werden. Die Parametrierung erfolgt datengetrieben mittels der vorgestellten Identifika- tionsverfahren aus den im offenen Regelkreis aufgezeichneten Ein-/Ausgangsmessdaten. Gegenüber anderen Verfahren, die häufig umfangreiche Vorkenntnisse und aufwändige Ex- perimente erfordern, haben diese neuen Verfahren den Vorteil, dass die Modellierung von Systemen mit Reibung selbst bei begrenzten Vorkenntnissen und minimalem Experiment- aufwand automatisiert werden kann. Dies wird am Beispiel der elektro-mechanischen Stell- glieder eines Dieselmotors gezeigt. Im Folgenden werden zur Verbesserung der Lesbar- keit die Zeitargumente weggelassen. Der folgende Abschnitt dokumentiert die Modellherlei- tung. 3.2 Beschreibung des Modellansatzes am Beispiel Stellglieder am Dieselfahrzeug 3.2.1 Modellierung des Übertragungsverhaltens der Drosselklappe 3.2.1.1 Reibmoment Unter Berücksichtigung der Literaturrecherche in Abschnitt 2.3.1 und der Problemstellung der HiL-Simulation wird ein statisches Reibmodell bzw. Variante c in Abschnitt 2.3.1 favori- siert, um die sowohl bei Stillstand als auch bei Bewegung der Klappe auftretenden Reibmo- mente zu berücksichtigen. Gründe für die Verwendung des statischen Reibmodells sind: • Die wesentlichen Effekte können durch ein statisches Reibmodell erfasst werden. • Ein statisches Reibmodell kann mit weniger Aufwand aus Ein-/Ausgangsmessungen open-Loop identifiziert werden. • Dynamische Reibmodelle haben mehr Parameter, welche nicht immer direkt aus Ein- /Ausgangsmessungen in der offenen Wirkungskette (Open-Loop) identifizierbar sind. • Dynamische Reibmodelle können oft in der Praxis Effekte wie z.B. Stick-Slip-Effekt etc. nicht gut erfassen [DPP + 04, PDJP06]. • Für den Regelungsentwurf und die Simulation sind dynamische Modelle nicht günstig, weil sie auf steife Differentialgleichungssysteme führen [Thü06]. Das Reibmodell bzw. Variante c berücksichtigt die folgenden Effekte: • ein Haftreibungsmoment, welches bei ˙ϕ = 0 wirkt und dessen Maximalwert (MH) erst von dem antreibenden Moment überwunden werden muss, 24
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