JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1 Dynamische Systeme auf dem optimalen Weg
1.1 Einleitung
Mathias Linden und Vera Schemann
Dynamische Systeme finden sich an vielen Stellen im alltäglichen Leben und der Versuch,
sie auf einen optimalen Weg zu bringen, beschäftigt ständig mehr Menschen.
Mathematisch gesehen bildet die Theorie der dynamischen Systeme die Grundlage
für viele weitere Forschungsgebiete – unter anderem der optimalen Steuerung und
der Modellreduktion. Im Kurs wurde – aufbauend auf einige Grundlagen – ein Bogen
gespannt von einer Einführung in die Systemtheorie über die optimale Steuerung
bis hin zur Modellreduktion. Diese behandelte Vielfalt soll auch durch die folgende
Kursdokumentation widergespiegelt werden.
1.2 Komplexe Zahlen
Die komplexen Zahlen C erweitern in der Mathematik den Zahlenbereich der reellen
Zahlen R und ermöglichen, dass die folgende Gleichung lösbar wird:
x 2 + 1 = 0 | − 1
x 2 = −1 | √
x1,2 = ± √ −1.
Die Wurzel aus einer negativen Zahl konnte nur gezogen werden, weil eine neue Zahl
eingeführt wurde. Diese Zahl heißt i und hat die Eigenschaft i := √ −1, sie wird als
imaginäre Einheit bezeichnet.
Im Allgemeinen haben sich zwei unterschiedliche Notationen für die komplexen
Zahlen durchgesetzt, die kartesische Form
und die polare Form
z = a + i · b
z = r · (cos(φ) + i sin(φ)), r ∈ R.
Wobei a und b sowie r und φ reelle Zahlen sind und i die imaginäre Einheit ist. a wird
als »Realteil« und b als »Imaginärteil« von a + b · i = z bezeichnet.
Sollen zwei komplexe Zahlen a + b · i und c + d · i addiert werden, so gilt:
(a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).
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