JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1 Dynamische Systeme auf dem optimalen Weg
Ziel ist es schwer erreichbare und schwer beobachtbare Zustände »abzuschneiden«.
Allerdings stimmen schwer erreichbare und schwer beobachtbare Zustände im Allgemeinen
nicht überein. Systeme in denen schwer beobachtbare und schwer erreichbare
Zustände übereinstimmen, und die deshalb einfacher behandelt werden können, heißen
balanciert. Für sie gilt dann P = Q.
Noch einfacher ist die Behandlung der Systeme, wenn P und Q nur Werte auf ihrer
Diagonalen haben. Dann spricht man von Hauptachsen-balancierten Systemen,
P = Q =
⎛
⎜
⎝
σ1
. ..
0
0 σn
Die σi = � λi(PQ) für i = 1, . . . , n heißen dabei Hankel-Singulärwerte.
Für die Methode des Balancierten Abschneidens überführt man das zu reduzierende
System Σ durch eine Transformation in eine Hauptachsen-balancierte Form – man
balanciert das System.
Hat man dann die folgende Darstellung
mit
⎛
⎜
⎝
A11 A12 B1
A21 A22 B2
C1 C2 D
Λ1 =
⎛
⎜
⎝
σ1
⎞
⎞
⎟
⎠ .
⎟
⎠ und P = Q =
. ..
0
0 σr
⎞
�
Λ1 0
0 Λ2
⎟
⎠ und A11 ∈ R r×r ,
so lässt sich durch Abschneiden eine Reduzierung durchführen. Das reduzierte System
setzt sich dann folgendermaßen zusammen:
�
A11 B1
C1 D
So hat man eine Ordnungsreduktion von Σ durchgeführt. Die Anzahl der Variablen
im Modell wurde reduziert und die Dimension des Systems somit verringert.
1.15 Literatur
Als Literatur wurden Aufzeichnungen aus Vorlesungen an der Universität Bremen
verwendet, sowie die folgenden Fachbücher:
[1] Antoulas, Athanasios C.: Approximation of Large-Scale Dynamical Systems (Advances in
Design and Control). Philadelphia, PA, USA 2005.
[2] Strang, Gilbert: Lineare Algebra. Heidelberg 2003.
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�
.
�
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