JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1 Dynamische Systeme auf dem optimalen Weg
1.4 Eigenwerte und Eigenvektoren
Komplexere mathematische Rechnungen mit verhältnismäßig großen Matrizen gestalten
sich schwierig. Für das Modellieren und die Berechnung sowie die Steuerung
dynamischer Systeme sind diese jedoch unabdingbar. Ein wichtiges Hilfsmittel bei der
Berechnung von Matrizen stellen die Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen dar.
Durch die Matrizenmultiplikation einer beliebigen Matrix A ∈ R n×m mit einem Vektor
�x ∈ R m entsteht ein Vektor �xneu ∈ R n . Es können zu einer Matrix A ∈ R n×n nun Skalare
λi ∈ R, 1 ≤ i ≤ n gefunden werden, so dass für die Gleichung
A · �xi = λi · �xi,
außer �xi =�0 noch weitere Lösungen existieren. Die aus der Gleichung hervorgehenden
Vektoren �xi ∈ R n werden als die Eigenvektoren der Matrix A bezeichnet, während die
Menge der λi die Eigenwerte von A bilden.
Zu jeder Matrix A existieren maximal n verschiedene Eigenwerte. Da der Vektor �xi
auf beiden Seiten der Gleichung mit einem beliebigen Skalar multipliziert werden kann,
ohne die Eigenwerte zu beeinflussen, existiert zu jedem Eigenwert eine unbegrenzte
Anzahl an Eigenvektoren. Da jeder dieser Vektoren durch alle anderen Vektoren mit Hilfe
der Multiplikation eines weiteren Skalars dargestellt werden kann, können maximal n
linear unabhängige Eigenvektoren existieren.
Lineare Unabhängigkeit einer Menge von n Vektoren ist gegeben, falls die Gleichung
c1 · �x1 + c2 · �x2 + · · · + cn · �xn =�0
ausschließlich die Lösung ci = 0 ∀i hat. Keiner dieser Vektoren kann in diesem Fall
durch die Summe einer beliebigen Anzahl aus Vielfachen der anderen Vektoren dargestellt
werden. Um die Eigenwerte und im Folgenden mögliche Eigenvektoren zu
berechnen, können alle λi durch Lösen der folgenden Gleichung berechnet werden:
det (A − λ · I) = 0.
Die so erhaltenen Eigenwerte setzen wir in eine Umformung der oben beschriebenen
Gleichung ein:
(A − λ · I) · �x =�0,
wobei I hier die Einheitsmatrix beschreibt. Dieses lineare Gleichungssystem kann nun
gelöst werden, so dass konkrete Werte für die Komponenten von �x ermittelt werden können.
Um Berechnungen mit diesen spezifischen Matrizeneigenschaften durchzuführen,
überführen wir die Eigenvektoren als Spalten in die Eigenvektormatrix S, während
die jeweiligen Eigenwerte analog zu der Einheitsmatrix die Werte der Diagonalen der
Eigenwertmatrix so bilden, dass Λii = λi. Durch die oben genannten Zusammenhänge
gilt für eine beliebige Matrix A ∈ R n×n , solange die Gleichung A = SΛS −1 n linear
unabhängige Eigenvektoren aufweist. Somit kann das entsprechende Produkt aus
Eigenvektor- und Eigenwertmatrix für A eingesetzt werden.
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