JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1.7 Dynamische Systeme
Schmetterlings) dramatische Folgen haben kann, beispielsweise das Entstehen eines
Taifuns oder Tornados.
Als letzter wichtiger chronologischer Eintrag im Bezug auf die Systemtheorie folgten
die 1990 entstandenen »Komplexen adaptive Systeme«. Dabei handelt es sich um
die Beschreibung von Emergenz, Anpassung und Selbstorganisation. Agenten und
Computersimulationen werden hier genutzt, um soziale und komplexe Systeme zu
erforschen.
1.7 Dynamische Systeme
Dynamische Systeme sind mathematische Modelle, die zur Beschreibung von Prozessen
dienen. Dabei wird die Veränderung des Zustands und des Ausgangs des Systems über
die Zeit betrachtet. Solche Systeme werden in den unterschiedlichsten Gebieten zur
Modellierung von Prozessen verwendet. Viele dieser Prozesse sind Beispiele aus der
Mathematik, aber vor allem auch in der Physik und in der Biologie werden Vorgänge
auf diese Art beschrieben. Beispiele sind die Bewegung eines Pendels, Klimamodelle
oder die Entwicklung einer Population von Lebewesen.
Dabei unterscheidet man zwischen offenen und geschlossenen Systemen. Geschlossene
Systeme haben keinen Eingang, also keine Steuerung. Sie können von außen nicht
beeinflusst werden und sind nur Relationen innerhalb des Systems unterworfen. Offene
Systeme hingegen sind offen für Eingriffe von außen, die Einfluss auf das Fortschreiten
des Prozesses nehmen.
Im Folgenden werden solche Systeme mathematisch beschrieben. Wir behandeln dabei
LTI-Systeme. LTI steht für »linear, time invariant«, was also bedeutet, dass diese Systeme
linear sind und sich die Systemmatrizen über die Zeit nicht verändern. Des Weiteren
beschränken wir uns auf Beschreibungen und Berechnungen von diskreten Systemen.
Für solche Systeme lassen sich Zustand und Ausgang zu bestimmten Zeitpunkten im
Abstand von gleichen Intervallen bestimmen. Es gibt auch kontinuierliche Systeme, bei
denen die Berechnung dieser Werte kontinuierlich und eben nicht nur iterativ erfolgt.
Mathematisch werden solche Systeme wie folgt dargestellt:
Σ :
�
x k+1 = A · x k + B · u k
y k = C · x k + D · u k
Der Vektor x k ∈ R n beschreibt den Zustand des Systems zu einem Zeitpunkt k. In
diesem Vektor sind alle Größen des Systems enthalten, die von Nöten sind um es
vollständig zu beschreiben. Die Anzahl dieser Zustandsgrößen, in diesem Fall n, gibt die
Dimension des Systems an.
A ∈ R n×n ist die systemeigene Matrix, die die Relationen, die innerhalb des Systems
auftreten, beschreibt. Sie wird auch als Dynamik des Systems bezeichnet. u k ∈ R m
ist ein Vektor der den Eingang oder die Steuerung des Systems beschreibt, wobei die
Matrix B ∈ R n×m die Relation wiedergibt. y k ∈ R p wird als Ausgang bezeichnet und mit
.
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