JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1.13 Optimale Steuerung
es die hinreichenden Bedingungen, die die zweite Ableitungen der Lagrange-Funktion
benötigen, die sich wie folgt ausdrücken:
s T · ∇ 2 xxL( ˆx, ˆλ) · s ≥ 0, ∀s ∈ R n mit ∇x(gi( ˆx)) T · s = 0.
Wobei ˆx, ˆλ kritische Punkte aus den notwendigen Bedingungen sind.
1.13 Optimale Steuerung
Das Ziel der optimalen Steuerung ist es, Eingriffe in das System möglichst effizient
zu regulieren. Die meisten Optimierungsprobleme lassen sich auf linear-quadratische
Regulatorprobleme zurückführen, die durch folgende Zielfunktion beschrieben werden:
J(x, u) = 1
N−1
2
∑
k=0
(x T k Q kx k + u T k R ku k) + 1
2 xT N SNxN.
Dabei werden die Matrizen Q k, R k und S k verwendet, um abhängig vom Ziel der
Optimierung die Variablen des Systems (x k, u k, xN) verschieden zu gewichten. Soll zum
Beispiel die Steuerung u k und deren Minimierung stärker gewichtet werden, als das
Erreichen der Zustände x k, so werden Q k und RK so gewählt, dass �R k� < �Q k�.
Ziel ist es nun, J(x, u) zu minimieren, wobei die Systemgleichung x k+1 = Ax k + Bu k
als Nebenbedingung betrachtet wird. Diese Problemstellung lässt sich so auf die statische
Optimierung zurückführen und man erhält die neue Zielfunktion:
˜J(x, u, λ) =
N−1
∑
k=0
( 1
2 (xT k Q kx k + u T k R ku k) + λ T k+1 (A kx k + B ku k − x k+1)) + 1
2 xT N SNxN.
Die auftretenden Lagrange-Multiplikatoren λi, wurden im Zusammenhang mit der
Lagrange-Funktion (siehe Abschnitt 1.12) bereits erwähnt. Durch Bildung des Gradienten
nach den Variablen x, u, λ und Umformung erhält man die folgenden Gleichungen:
x k = A −1
k x k+1 + A −1
k B kR −1
k BT k λ k+1, (1.1)
λ k = Q kx k + A T k λ k+1, (1.2)
u k = −R −1
k BT k λ k+1. (1.3)
Im folgenden Betrachten wir ein System mit einem fest vorgegebenen Endzustand
xn := rn. Wir betrachten ein LTI-System, das heißt, die Systemmatrizen A, B und die
Gewichtungsmatrix R sind zeitunabhängig. Wir setzen Q k = 0 und SN = 0, da sowohl
der Anfangszustand x0 als auch der Endzustand rN vorgegeben sind und wir daher
die Zustände x k (0 < k < N) als nicht relevant für die Steuerung betrachten, was das
System deutlich vereinfacht. Daher erhalten wir die neue Zielfunktion J0:
J0(u) = 1
N−1
2
∑
k=0
u T k Ru k.
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