JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

u ∗ k = − (R k + B T k S k+1B k) −1 B T k S k+1A k
�
= −Kkxk, ��
=:Kk �
x k,
1.14 Modellreduktion
dabei bezeichnet K k die Kalman-Folge. In diesem Falle ist die Steuerung vom Zustand x k
abhängig, es liegt also eine Zustandsrückkopplung vor.
1.14 Modellreduktion
Bei der Modellierung komplexer Sachverhalte, wie zum Beispiel des Wetters, erhält
man dynamische Systeme sehr hoher Dimension n (A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×m , C ∈ Rp×n ,
D ∈ Rp×m ), die mit entsprechend großem Rechenaufwand verbunden sind.
Ziel der Modellreduktion ist daher die Konstruktion eines reduzierten Systems ˆΣ mit
 ∈ Rr×r , ˆB ∈ Rr×m , Ĉ ∈ Rp×r , ˆD ∈ Rp×m und r ≪ n, wodurch der Rechenaufwand
deutlich verringert wird. Dabei wird angestrebt, dass die Differenz der Ausgänge ||y − ˆy||
bei gleichem Eingang u möglichst klein ist. Dabei ist die Auswahl der Zustände, die
bei der Erstellung von ˆΣ vernachlässigt werden, von entscheidender Bedeutung. Eine
mögliche Methode um diese Auswahl zu treffen ist das Balanced Truncation (Balanciertes
Abschneiden). Dazu benötigt man zunächst die »Unendliche Gramsche Matrix der
Erreichbarkeit«
P =
∞
∑ (A
k=0
k BB T (A T ) k ),
und die »Unendliche Gramsche Matrix der Beobachtbarkeit«
Q =
∞
∑ ((A
k=0
T ) k C T CA k ).
Mit Hilfe dieser Matrizen kann man folgende Berechnungen machen:
– Die minimale Energie um von x0 = 0 zu einem Zustand ¯x zu steuern, ist
||u|| 2 = ¯x T P −1 ¯x
⇒ Die am schwierigsten zu erreichenden Zustände, liegen dann in den Eigenräumen
zu den kleinsten Eigenwerten von P.
– Die maximale Energie, die durch ¯x erzeugt werden kann, ist
||y|| 2 = ¯x T Q ¯x
⇒ Die am schwierigsten zu beobachtenden Zustände, liegen dann in den Eigenräumen
zu den kleinsten Eigenwerten von Q.
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