JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1 Dynamische Systeme auf dem optimalen Weg
ist die Optimierung eine statische Analyse der so genannten Zielfunktion um den besten
Wert eines gewissen Systemzustands zu ermitteln. Ein einfaches Beispiel hierfür
aus der Wirtschaft wäre die Gewinnfunktion, für welche ein jedes Unternehmen jedes
Jahr das Maximum anhand von verschiedenen Parametern wie Materialkosten, Produktion
oder Lohnkosten sucht. Die gesuchten Extrema dieser Zielfunktion werden
eindimensionalen Fall durch das zu Null setzten der ersten Ableitung ermittelt, und im
n-dimensionalen Fall durch das Null setzten des Vektorgradienten ∇ f . Bei den meisten
komplexen Zielfunktionen ist es aber kompliziert globale Extrema zu ermitteln, so dass
man sich auf lokale Extremstellen, die durch weitere Nebenbedingungen eingegrenzt
werden können, beschränkt. In der Mathematik lassen sich manche Nebenbedingungen
durch setzten von Funktionen auf feste Werte ausdrücken g(x) = 0, g : R m −→ R
ausdrücken. Das Lagrange-Multiplikator Gesetz besagt hierbei, dass die Lösungen für
solche Optimierungsprobleme sich durch eine neue Zielfunktion
L(x, λ) = f (x) +
m
∑
i=1
λi · gi(x)
berechnen lassen. Solche sind nur an Stellen x zu finden, für welche es Lagrange-
Multiplikatoren λ gibt, die die Bedingungen
�
∇xL(x, λ) = ∇x · f (x) + ∑ m i=1 λi · ∇xgi(x) = 0, λ ∈ R m
∇λL(x, λ)gi(x) = 0
erfüllen. Das sind die notwendigen Bedingungen für das Finden eines lokalen Minimums,
wobei ∇λL(x, λ)gi(x) = 0 nur die Nebenbedingungen des Anfangs wiederholt. Die
Lösungen dafür nennt man kritische Punkte. Nun ist es aber im n-dimensionalen Raum
wie im 1-dimensionalen so, dass die eine Nullstelle der ersten Ableitung auch einen
Sattelpunkt statt eines Extremums bedeuten kann. Um hierbei zu unterscheiden, gibt
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