JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1.9 Beobachtbarkeit
beschreibt die Dynamik des Systems, also wie die schon in den Städten wohnhaften
Personen in einem Zeitintervall wandern. Die erste Spalte der Matrix gibt den Anteil
der Menschen an, die in Matheheim bleiben, bzw. von Matheheim nach Formelhausen
ziehen. In der zweiten Spalte stehen die Anteile der Anwohner, die von Formelhausen
nach Matheheim ziehen, bzw. in Formelhausen bleiben.
Der Zustandsvektor
x k =
�
xm
x f
�
, x k ∈ R 2
gibt die Einwohnerzahl der Städte zu jedem Zeitpunkt k an, wobei das Intervall zwischen
k und k + 1 fünf Jahre beträgt.
Das System enthält auch einen Eingang, der durch die in die Region ziehenden
Menschen gegeben ist. Dabei gibt der Eingang
B · u k = b =
die von außerhalb zuziehenden Menschen an, sich in Matheheim, bzw. Formelhausen
niederlassen.
Der Ausgang des Systems enthält die Steuereinnahmen der beiden Städte. Die Ausgangsgleichung
lautet folgendermaßen: y k = C · x k + D · u k.
C =
�
5000 0
0 2000
�
�
700
300
�
,
, C ∈ R 2×2 ,
beschreibt die Besteuerung pro Einwohner in Matheheim und Formelhausen. Der Summand
D · u k fällt weg, da die Steuerung u k keinen Einfluss auf den Ausgang hat.
In Abbildung 1.1 ist graphisch gezeigt, wie sich die Einwohnerzahlen und die Steuereinnahmen
über 50 Jahre, also zehn Zeitabstände k verhält, wenn zu Anfang der Betrachtung
jeweils 10000 Menschen sowohl in Matheheim als auch in Formelhausen leben und
in jedem Zeitintervall 1000 Menschen in die Region ziehen. Der Startvektor lautet also
1.9 Beobachtbarkeit
x0 =
�
10000
10000
Damit es möglich ist ein dynamisches System zu verändern, muss bekannt sein, wie es
zu der Ausgabe y k kommt. Dies ist bekannt, wenn es möglich ist x0 aus der Ausgabe
y k zu rekonstruieren. Denn dann ist der Startwert x0 eindeutig. Wenn es nun bei einem
dynamischen System möglich ist bei bekanntem u k von dem Ausgang y k in endlicher Zeit
�
.
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