JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1 Dynamische Systeme auf dem optimalen Weg
Sollen zwei komplexe Zahlen multipliziert werden, so gilt:
(a + ib) · (c + id) = (ac − bd) + i(ad + bc).
Der Betrag der komplexen Zahlen stimmt mit der Länge ihres Vektors überein:
|z| = a 2 + b 2 .
In Polarkoordinaten ist der der Betrag gleich der Zahl r.
1.3 Matrizen
Matrizen werden als Rechteckschema von Zahlen dargestellt. Eine Matrix A hat die
Form:
A =
⎛
⎜
⎝
a1,1 · · · a1,n
.
. .. .
am,1 · · · am,n
⎞
⎟
⎠ , A ∈ R m×n .
Die Matrix benutzt man zum Beispiel als Koeffizientenmatrix, um ein lineares Gleichungssystem
(Ax = y) darzustellen. Man kann zudem mit ihr verschiedene Abläufe in
einem System darstellen. Die Zahlen oder Funktionen in den Zeilen und Spalten heißen
Elemente. Matrizen bezeichnet man oft mit Großbuchstaben (A, B, C, . . . ).
Wenn A und B zwei Matrizen mit der gleichen Anzahl an Spalten und Zeilen sind,
kann man sie addieren und zu einer neuen Matrix C zusammenfassen, indem man die
jeweils entsprechenden Elemente addiert.
�
a1,1 a1,2
a2,1 a2,2
�
+
�
b1,1 b1,2
b2,1 b2,2
�
=
�
a1,1 + b1,1 a1,2 + b1,2
a2,1 + b2,1 a2,2 + b2,2
�
=
�
c1,1 c1,2
c2,1 c2,2
Man kann auch das Produkt der Matrizen A und B berechnen. Wichtig ist hier, dass
die Anzahl der Spalten von A gleich der Anzahl der Zeilen von B ist, da man bei der
Multiplikation von Matrizen jeweils die Zeilen mit den Spalten multipliziert.
12
�
�
a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
⎛
�
⎜
· ⎝
b1,1 b1,2
b2,1 b2,2
b3,1 b3,2
⎞
⎟
⎠ =
a1,1 · b1,1 + a1,2 · b2,1 + a1,3 · b3,1 a1,1 · b1,2 + a1,2 · b2,2 + a1,3 · b3,2
a2,1 · b1,1 + a2,2 · b2,1 + a2,3 · b3,1 a2,1 · b1,2 + a2,2 · b2,2 + a2,3 · b3,2
In einer Einheitsmatrix I sind alle Elemente auf der Hauptdiagonalen 1. Die restlichen
�
�