JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1.5 Ableitungen von Funktionen im Raum
Mit dieser Zerlegung wird das Berechnen einiger großer Gleichungen deutlich vereinfacht.
Speziell bei dynamischen Systemen bieten sowohl Eigenvektormatrix als auch
Eigenwertmatrix viele Vorteile, da die diagonale Struktur der Eigenwertmatrix verschiedene
Rechnungen vereinfacht. Somit bilden Eigenwerte eine wichtige Technik in der
Systemtheorie.
1.5 Ableitungen von Funktionen im Raum
Der Gradient ist eine Rechenoperation, die auf eine Funktion von C n nach C angewendet
werden kann und als Ergebnis ein Vektorfeld liefert. Dabei wird jedem Punkt ein Vektor
zuordnet, welcher jeweils die Richtung und Stärke des steilsten Anstieges von diesem
Punkt aus wiedergibt.
Man kann eine Funktion, die von mehreren Variablen abhängt, nach jeder Variablen
einzeln ableiten. Es gelten dabei die normalen Ableitungsregeln, wobei die Variablen,
nach denen nicht abgeleitet wird, als konstant betrachtet werden. Dies nennt man partielle
Ableitung. Es wird nun ein einfaches Beispiel angegeben:
f (x1, x2) = sin x1 · sin x2
∂ f (x1, x2)
= cos x1 · sin x2
∂x2
∂2 f (x1, x2)
= cos x1 · cos x2
∂x1∂x2
Der Gradient ist nun die verkürzte Schreibweise aller partiellen Ableitungen einer
Funktionen. Bei der Bildung des Gradienten eines Punktes in einem (Skalar-)Feld
wird in jeder Richtung der Anstieg des Feldes in dieser Richtung im Ergebnisvektor
wiedergegeben.
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