JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1 Dynamische Systeme auf dem optimalen Weg
Hilfe der weiteren Systemmatrizen C ∈ R p×n und D ∈ R p×m berechnet. Eine übliche
Bezeichnung lautet wie folgt:
Σ =
�
A B
C D
Für die Berechnung eines beliebigen Zustandes Φ lässt sich auch eine analytische
Lösung der Zustandsgleichung formulieren. Dabei wird der Ausgang des Systems außer
Acht gelassen. Diese Gleichung lautet wie folgt:
Φ(u; x0; t) := A t−t0 · x0 +
�
.
t−1
∑ A
j=t0
t−1−j · B · u(j) , t ≥ t0.
Das heißt Φ(u; x0; t) ist der Zustand, der mit der Steuerung bzw. den Eingängen u
vom Startzustand x0 zur Startzeit t0 nach der Zeit t erreicht wurde. Solche Systeme
können auf verschiedene Eigenschaften wie Beobachtbarkeit, Stabilität, Erreichbarkeit
und Steuerbarkeit untersucht werden.
1.8 Beispiel eines linearen Systems
Wir betrachten die zwei Städte Matheheim und Formelhausen, die in einer Region liegen.
Im Folgenden untersuchen wir die Einwohnerzahl und das gesamte Steueraufkommen
der beiden Städte in Zeitabschnitten von fünf Jahren.
Die Stadträte der Städte kämpfen um Mehreinnahmen durch Steuergelder, die sie
durch höhere Einwohnerzahlen erreichen wollen.
Matheheim ist attraktiver als Formelhausen, weshalb 80% der Menschen aus Formelhausen
innerhalb von fünf Jahren nach Matheheim ziehen. In Formelhausen allerdings
sind die Steuern niedriger, weshalb 50% der Menschen im gleichen Zeitintervall von
Matheheim nach Formelhausen ziehen. Der Rest der Anwohner zieht nicht um.
Innerhalb von fünf Jahren ziehen aber auch neue Bürger in die Städte, die vorher
in anderen Regionen gelebt haben. Durch Angebote wie freie Kindergartenplätze oder
Startprämien für Studenten, schafft es Formelhausen, 700 der aus anderen Regionen
zuziehenden Menschen für sich zu gewinnen, 300 ziehen nach Matheheim.
Die Besteuerung pro Kopf ist in den beiden Städten stark verschieden. Die Bewohner
von Formelhausen zahlen alle fünf Jahre 2000 Euro, die Menschen aus Matheheim zahlen
in der gleichen Zeit 5000 Euro.
Die Bevölkerungssituation und die dazugehörigen Steuereinnahmen der beiden Städte
lassen sich mathematisch als LTI-System modellieren. Die Zustandsgleichung x k+1 =
A · x k + B · u k setzt sich aus verschiedenen Elementen zusammen:
Die Transfermatrix
18
A =
�
0.5 0.8
0.5 0.2
�
, A ∈ R 2×2 ,