JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1.9 Beobachtbarkeit
auf den Startwert x0 zu schließen, dann ist ein System in dem Zustand x0 beobachtbar.
Wenn dies sogar für alle x ∈ R n möglich ist, dann ist das ganze System vollständig
beobachtbar.
Um festzustellen, ob ein System beobachtbar ist, müssen die einzelnen Rekursionsschritte
betrachtet werden. Bei diesen sind die Summanden mit u k bekannt, weshalb
diese nicht betrachtet werden müssen. So kann ohne Beschränkung der Allgemeinheit
von u k = 0 ausgegangen werden. Also werden von dem System nur die Matrizen A und
C betrachtet.
Definition: Ein Wert x ∈ R n ist genau dann unbeobachtbar, falls y k = Φ(0; x; k) =
C · A k · x = 0 für alle k. Die Menge der unbeobachtbaren x sei X unobs . Dann ist ein
System genau dann vollständig beobachtbar falls X unobs = {0}.
Für das System bedeutet dies, dass sich die Ausgabe y k bei jedem x unterscheidet.
Dadurch lässt sich eindeutig sagen, vom welchem Startwert x0 ausgegangen wurde.
Zu dem System existiert dann eine Beobachtbarkeitsmatrix:
⎛
⎜
QB(A, C) := ⎜
⎝
C
C · A
C · A 2
.
C · A n−1
Diese Matrix hat die Dimension p · n × n. Mit Hilfe der Matrix, kann leicht bestimmt
werden, ob das System beobachtbar ist. Nämlich genau dann, wenn die Anzahl der
linear unabhängigen Zeilen bzw. Spalten gleich n ist. Diese Anzahl gibt der Rang einer
Matrix an.
Also ist ein System genau dann beobachtbar, falls gilt:
rang(QB) = n.
Somit gibt es zwei äuqivalente Bedingungen unter denen das System vollständig
beobachtbar ist:
– rang(QB) = n,
– y k = C · A k · x = 0 für alle k.
Ist ein System vollständig beobachtbar weiß man, dass man von jedem y k und k auf
den Startwert x0 schließen kann.
⎞
⎟ .
⎟
⎠
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