JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1.12 Optimierung
gilt: |λi| ≤ 1 und für |λi| = |λj| = 1 λi �= λj bei i ungleich j gilt. Der Einfachheit halber
lassen wir den Eingang außer Betracht und erhalten x k+1 = Ax k.
Es sind nun drei Fälle zu unterscheiden: Wenn alle Beträge der Eigenwerte von A
echt kleiner 1 sind geht x k gegen 0 für ein größer werdendes k und das System heißt
asymptotisch stabil. Andererseits falls der Betrag eines Eigenwertes größer als 1 ist würde
x k nicht gegen unendlich gehen, womit das System nicht stabil wäre. Falls kein Betrag
von den Eigenwerten größer 1 ist, aber mindestens einer gleich 1 ist, läuft x k weder gegen
0 noch ins Unendliche und bleibt damit berechenbar. Dabei müssen alle Eigenwerte
paarweise verschieden sein, sonst würde x k gegen Unendlich gehen und wäre damit
nicht stabil.
Im Folgenden befassen wir uns vor allen Dingen damit, ob ein System asymptotisch
stabil ist oder überhaupt nicht stabil ist. Es ist nun x1 = Ax0; x2 = Ax1 = A 2 x0;
x3 = Ax2 = A 3 x0, also x k = A k x0. Um die Stabilität zu überprüfen müssen wir
Zustände für große k ausrechnen, weshalb wir zunächst jedes A mit A = SΛS −1
diagonalisieren. Dazu müssen wir annehmen, dass A n linear unabhängige Eigenvektoren
hat, die wir als Spalten der Eigenvektormatrix S schreiben. Nun haben wir
A k = (SΛS −1 )(SΛS −1 )...(SΛS −1 ). Da die Matrizenmultiplikation assoziativ ist, können
wir jeweils S −1 S zur Einheitsmatrix zusammenfassen und erhalten A k = SΛ k S −1 . Danach
können wir den Exponenten k von Λ k in die Matrix hineinziehen, so dass jeder
Eigenwert den Exponenten k erhält. Nun können wir zumindest schon das Verhalten
der λk i für k gegen Unendlich abschätzen. Sobald der Betrag eines Eigenwertes größer 1
ist, geht die k-te Potenz dieses Eigenwertes ebenfalls gegen unendlich. Wenn aber die
Beträge aller Eigenwerte kleiner 1 sind, streben die k-ten Potenzen gegen 0.
Jetzt drücken wir xk anders aus um auch das Verhalten für die xk abzuschätzen. Da wir
n linear unabhängige Eigenvektoren vi haben, kann jeder Vektor (vor allen Dingen x0) als
Linearkombination der vi geschrieben werden. Also x0 = c1v1 + c2v2 + ... + cnvn mit ci als
Skalaren (reelle Zahlen). Dazu multiplizieren wir A und können wegen Avi = λivi (was
für die n linear unabhängigen Eigenvektoren gilt) x1 = c1λ1v1 + c2λ2v1 + ... + cnλnvn
schreiben. Mehrmaliges multiplizieren mit A ergibt
x k = c1λ k 1 v1 + c2λ k 2 v1 + ... + cnλ k nvn.
Solange also bei einem Eigenwert, dessen Betrag größer als 1 ist, der zugehörige
konstante Faktor nicht 0 ist, strebt x k gegen Unendlich und ist damit instabil. Wenn alle
Beträge der Eigenwerte kleiner als 1 sind, strebt x k gegen 0 und ist damit asymptotisch
stabil. In der Literatur wird der Begriff stabil oft gleichbedeutend mit asymptotisch stabil
verwendet.
1.12 Optimierung
Die statische Optimierung einer Funktion f (x), f : R n −→ R zielt darauf ab das Minimum
oder Maximum (den »optimalen Wert«) dieser zu ermitteln. Im Gegensatz zur
optimalen Steuerung, die versucht ein dynamisches System bestmöglich zu steuern,
23