JGW-SchülerAkademie Papenburg 2011 - Jugendbildung in ...

1 Dynamische Systeme auf dem optimalen Weg
Das Formelzeichen, um den Gradienten zu bilden, wird Nabla-Operator genannt:
⎛
⎜
∇ f (x) = ∇ f (x1, x2, · · · , xn) = ⎜
⎝
∂ f (x)
∂x1
∂ f (x)
∂x2
.
∂ f (x)
∂xn
Es wird also nach jeder einzelnen Achsenrichtung partiell abgeleitet und das Ergebnis
wird in einem Vektor wiedergegeben. Man kann auch die zweite Ableitung einer Funktion
bilden, indem man eine Matrix erstellt, in der man jede Richtung des Gradienten
erneut nach jeder Variable ableitet.
Die Summen-, Produkt- und Kettenregel kann man analog auf Funktionen im Raum
anwenden. Mit Hilfe der Ableitung von Funktionen kann man z. B. Extremstellen in
Feldern berechnen, da die Ableitungen nur bei Extremstellen �0 sind. Wenn man von
einer Funktion zweimal ableitet, dann erhält man ein Maß für die Krümmung des Feldes
in jedem Punkt.
1.6 Geschichte der Systemtheorie
Da die Systemtheorie in vielen verschiedenen Bereichen wieder zu finden ist, kann
man sie als ein interdisziplinäres Erkenntnismodell beschreiben, welches versucht verschiedene
komplexe Phänomene zu beschreiben bzw. zu erklären. Allgemein gehen
Systemtheorien von Systemen aus, die sich selber erhalten, wie zum Beispiel die Gesellschaft
oder die Justiz. Handelt ein Individuum innerhalb eines dieser Systeme auf
eine bestimmte Art und Weise, wird dies anhand seiner gesellschaftlichen Position und
den daraus folgenden Zwängen erklärt. Weiterhin wird mit Hilfe von Struktur- und
Funktionsanalyse versucht den weiteren Verlauf des Systems vorherzusagen. Systemtheorien
lassen sich also in verschiedenen Fachbereichen wiederfinden. Zum einen
natürlich in der Mathematik, aber auch in Bereichen wie Biologie, Chemie, Ethnologie,
Informatik, Geographie etc.
Der Begriff »Allgemeine Systemtheorie« wurde um 1950 von dem Biologen Ludwig
von Bertalanffy (1901–1972) geprägt und steht im Zusammenhang mit der Kontrolltheorie,
welche die Kommunikation, Steuerung und Regelung von lebenden, technischen
und sozialen Systemen beschreibt.
Um 1970 entstand der mathematische Zweig der Katastrophentheorie. Er befasst
sich mit plötzlichen Veränderungen innerhalb eines Systems, die sich aus kleinen Impulsen
ergeben. Ungefähr 10 Jahre später folgte die Chaostheorie: Eine Theorie von
nichtlinearen, dynamischen Systemen, welche eine Reihe von Phänomen aufweisen,
die man Chaos nennt. Ein bekanntes Beispiel dieser Theorie ist unter anderem der
Schmetterlingseffekt. Der Grundgedanke hinter diesem Beispiel ist, dass allein eine
marginale Veränderung innerhalb eines Systems (wie zum Beispiel das Auffliegen eines
16
⎞
⎟ .
⎟
⎠