Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

(I = Identität).d) Sei g : H → R eine stetige lineare Abbildung. Nach dem Rieszschen Darstellungssatzgibt es dann ein eindeutiges y ∈ H mitfür alle x ∈ H , und es giltalso ∂g(x) = {y}.g(x) = (y,x)( ) 1( )grad g(x),h = lim g(x + th) − g(x)t→0 t= lim (y,th) = (y,h),tt→01Definition 6.11 (Wertebereich des Subdifferentials) Sei f : H → (−∞, ∞] einekonvexe Funktion und α ≥ 0. Die MengeR(αI + ∂f) = ⋃ x∈H[αx + ∂f(x)]heißt Wertebereich der Abbildung αI + ∂f : H → P(H), die durch(αI + ∂f)(x) = αx + ∂f(x) = { αx + y ∣ ∣ y ∈ ∂f(x) }definiert ist.In den nächsten Abschnitten wird gezeigt, daß es zu vielen elliptischen Differentialoperatorender Formn∑ ∂( )a i ∇u(x)∂x iin Sobolevräumen eine konvexe Funktion f gibt mit{n∑ ∂(∂f(u) = − a i ∇u(x)) } .∂x iDie Gleichung−n∑i=1i=1i=1∂( )a i ∇u(x) + αu(x) = g(x)∂x ikann also für jede beliebige gegebene Funktion g aus dem Hilbertraum H (meistens istH = L 2 (Ω) ) gelöst werden, genau dann wenn R(αI + ∂f) = H gilt. Um die Frage zuuntersuchen, wann dies gilt, benötigen wir folgendes Lemma.Lemma 6.12 Sei f : H → (−∞, ∞] eine konvexe Funktion und g : H → R eine linearestetige Funktion mitg(x) = (y,x)96