Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

also u ε ∈ D , undI(u ε ) ===≤∫ 1−1∫ 1−1∫ ε−ε∫ ε−ε(u′ε (x) 2 − 1 ) 2dx(Hε (x) 2 − 1 ) 2dx(Hε (x) 2 − 1 ) 2dxdx = 2ε → 0für ε → 0, also inf v∈D I(v) = 0, wie behauptet, und I hat kein Minimum auf D .Jedoch nimmt I auf einem größeren Raum ˜D das Minimum an. Zur Konstruktion von˜D beachte man, daß die Familie {u ε } ε>0 für ε → 0 im Raum H1((−1, p 1)) mit 1 ≤ p < ∞gegen die Funktion { −(x + 1), − 1 ≤ x ≤ 0u(x) =x − 1, 0 ≤ x ≤ 1konvergiert. Wegen u ∈ H p 1((−1, 1)) mit u ′ (x) = H(x) gilt I(u) = 0. Also ist u einMinimum von I auf dem Raum˜D = D Hp 1 ((−1,1)) ⊆ H p 1((−1, 1)).Dieses Minimum ist aber nicht eindeutig, vielmehr gibt es unendlich viele Minima in ˜D .Ein weiteres Minimum ist zum Beispiel −u .3.2.2 Der Fall f(x,u,ξ) = f(x,ξ) In diesem Fall lautet die Eulergleichungalsod [fξ (x,u ′ ) ] = 0,dxf ξ (x,u ′ ) = const.Das folgende Beispiel für diesen Fall stammt von Weierstraß: Seien f(x,ξ) = xξ 2 und( ) }D ={v ∈ C 1 [0, 1] : v(0) = 1, v(1) = 0 .Ich werde zeigen, daß das FunktionalI(v) =∫ 10f ( x,v ′ (x) ) dx =∫ 10x ( v ′ (x) ) 2dxkein Minimum auf D besitzt. Die Eulergleichung zu diesem Funktional istxu ′ (x) = c = const,44