Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

gelte lim n→∞ f(x n ) = f(x) für alle f ∈ V ′ . Sei x + U eine Umgebung von x , wobei Ueine Nullumgebung ist. Dann gibt es f 1 ,...,f m ∈ V ′ mitm⋂U fi = {x ∈ V |i=1∀i=1,...,m|f i (x)| < 1} ⊆ U .Wegen lim n→∞ f i (x n ) = f i (x) für i = 1,...,m gibt es k i mit|f i (x n − x)| = |f i (x n ) − f i (x)| < 1für alle n ≥ k i , also auch für alle n ≥ k 0 = max{k 1 ,...,k m } , somitfür alle n ≥ k 0 , alsom⋂x n − x ∈ U fi ⊆ Ui=1x n = x + (x n − x) ∈ x + U , n ≥ u 0 .Da x + U eine beliebige Umgebung von x ist, bedeutet dies, daß lim n→∞ x n = x gilt inder schwachen Topologie von V .Wenn {x n } ∞ n=1 in der schwachen Topologie gegen x konvergiert, schreibt man auchx n ⇀ x . In einem Hilbertraum gilt x n ⇀ x , genau dann, wennlim (x n,z) = (x,z)n→∞gilt für alle z ∈ H , weil in einem Hilbertraum jede stetige lineare Abbildung f ∈ H ′dargestellt werden kann in der Formmit einem geeigneten z = z(f) ∈ H .f(x) = (x,z)Lemma 5.12 (Abschätzung der Norm des schwachen Grenzwertes) Sei H einHilbertraum und x n ⇀ x.(i) Dann gilt‖x‖ ≤ lim infn→∞ ‖x n‖ .(ii) Aus lim sup ‖x n ‖ ≤ ‖x‖ folgt x n → x.n→∞Beweis: (i)folgt wegen (x n ,x) → (x,x) = ‖x‖ 2 , daß0 ≤ lim infn→∞‖x n − x‖ 2 = ‖x n ‖ 2 − 2(x,x n ) + ‖x‖ 2‖x n − x‖ 2 = lim infn→∞= lim infn→∞ ‖x n‖ 2 − ‖x‖ 2 ,‖x n‖ 2 − 2 limn→∞(x n ,x) + ‖x‖ 283