Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Zum Beweis des Satzes genügt es also zu zeigen, daß y eindeutig ist. Sei y ′ ein zweitesElement aus M mit ‖x − y ′ ‖ = d . Dies ergibt‖y − y ′ ‖ = 2‖x − y‖ 2 + 2‖x − y ′ ‖ 2 − 4‖x − 1 2 (y + y′ )‖ 2≤ 4d 2 − 4d 2 = 0 ,also y = y ′ , also ist y eindeutig bestimmt.Folgerung 5.3 Sei S ein abgeschlossener Unterraum des Hilbertraumes H,S ≠ ∅, seix ∈ H und sei δ = inf{‖x−y‖ | y ∈ S}. Dann gibt es genau ein y 0 ∈ S mit ‖x−y 0 ‖ = δ .Beweis: Ergibt sich aus dem vorangehenden Satz mit M = S .Definition 5.4 (Projektion auf konvexe Mengen) Sei H ein Hilbertraum undM ⊆ H abgeschlossen und konvex. Für x ∈ H bezeichne Proj M x das nach dem letztenSatz eindeutig bestimmte Element aus M mit‖Proj M x − x‖ = inf ‖x − η‖ .η∈MProj M : H → M heißt die Projektion von H nach M .Lemma 5.5 Sei M ⊆ H eine abgeschlossene und konvexe Menge. Dann gilt y =Proj M x genau dann, wenn y ∈ M ist undfür alle η ∈ M .Re (y,η − y) ≥ Re (x,η − y)Beweis: Sei x ∈ H , y = Proj M x . Da M konvex ist, folgtfür alle 0 ≤ t ≤ 1 , folglich nimmt(1 − t)y + tη = y + t(η − y) ∈ Mϕ(t) = ‖x − y − t(η − y)‖ 2 = ‖x − y‖ 2 − 2t Re (x − y,η − y) + t 2 ‖η − y‖ 2das Minimum an für t = 0 . Also giltsomit0 ≤ ϕ ′ (0) = −2 Re (x − y,η − y) ,Re (y,η − y) ≥ Re (x,η − y) .Umgekehrt sei für y ∈ M und für alle η ∈ MRe (y,η − y) ≥ Re (x,η − y) .79