Satz 4.9 (Existenz von Lösungen der Hamilton–Jacobi Gleichung) MitBezeichnungen von Satz 5.7 sei H ∈ C 3 (W, R). Sei S 0 ∈ C 2 (R) eine Funktion mitdenv 0 (u) := S ′ 0(u) ∈ W(a,u)für alle u ∈ R. Dann gibt es eine in [a,b] × R relativ offene Teilmenge U von [a,b] × Rmit {a} × R ⊆ U <strong>und</strong> eine Lösung S ∈ C 2 (U, R) der Hamilton–Jacobischen DifferentialgleichungS x (x,u) + H ( )x,u,S u (x,u) = 0in U zur AnfangsbedingungS(a,u) = S 0 (u).Beweis: Aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen folgt, daß es einein [a,b] × R relativ offene Teilmenge U von [a,b] × R gibt mit {a} × R ⊆ U , die ineineindeutiger Weise von den Kurven x ↦→ (x,u, (x,α)) überdeckt wird, wobei u(x,α)die erste Komponente der Lösung (u,v) = (u(x,α),v(x,α)) von( )u ′ (x,α) = H v x,u(x,α),v(x,α)( ,) u(a,α) = αv ′ (x,α) = − H u x,u(x,α),v(x,α) , v(a,α) = v0 (α)ist. Hierbei seiu ′ (x,α) = ∂∂x u(x,α), v′ (x,α) = ∂∂x v(x,α).Es sei V ⊆ [a,b] × R die Menge alle (x,α) mit (x,u(x,α)) ∈ U . Wenn nötig durchVerkleinerung von U <strong>und</strong> V kann erreicht werden, daß U von der FormU = {(x,y) : a ≤ x < c(y)}ist mit a < c(y) ≤ b, <strong>und</strong> daß die Funktionaldeterminante der Abbildung (x,α) ↦→(x,u(x,α)) in V von Null verschieden ist:[ ( )]∂ x,u(x,α) det=∂(x,α) ∣ 1 0∂u ∂u ∣ = ∂u (x,α) > 0,∂α∂xwegen ∂u ∂α(a,α) = = 1,. Es existiert dann die Inverse (x,u) ↦→ (x,α(x,u)) : U → V∂α ∂αvon (x,α) ↦→ (x,u(x,α)), die dieselbe Differenzierbarkeitsordnung hat wie (x,α) ↦→u(x,α). Wegen H ∈ C 3 ist u(x,α) ∈ C 2 , also auch α(x,u). Ich definiere die Abbildungṽ : U → R durchṽ(x,u) = v ( x,α(x,u) ) .Sei nun S die Lösung von(∗) S x (x,u) = −H ( x,u, ṽ(x,u) ) , S(a,u) = S 0 (u),∂αin U , alsoS(x,u) = S 0 (u) −∫ x0H ( y,u, ṽ(y,u) ) dy74
für alle (x,u) ∈ U . Ich werde zeigen, daßS u (x,u) = ṽ(x,u)gilt. Wenn dies gezeigt ist, folgt direkt aus der Definition (∗) von S , daß S eine Lösungder Hamilton–Jacobischen Differentialgleichung zur Anfangsbedingung S(a,u) = S 0 (u)ist.Zum Beweis beachte man, daß durch Einsetzen von u = u(x,α) in die Definition von ṽfolgtv(x,α) = ṽ ( x,u(x,α) ) ,alsod. h.∂∂x v(x,α) =Aus (∗) ergibt sich somitdxṽ( d x,u(x,α) )= ṽ x(x,u(x,α))+ ṽu(x,u(x,α))∂u∂x (x,α)= ṽ x(x,u(x,α))+ ṽu(x,u(x,α))u ′ (x,α),v x(x,α(x,u))= ṽx (x,u) + ṽ u (x,u)u ′( x,α(x,u) ) .S ux (x,u) = S xu (x,u)= − d [H ( x,u, ṽ(x,u) )]du( ) (= − H u x,u, ṽ(x,u) − Hv x,u, ṽ(x,u))ṽu (x,u)= v x(x,α(x,u))− ux(x,α(x,u))ṽu (x,u)= ṽ x (x,u) + ṽ u (x,u)u ′( x,α(x,u) ) − u ′( x,α(x,u) ) ṽ u (x,u)= ṽ x (x,u).Wegen (∗) folgt hieraus durch IntegrationDamit ist der Satz bewiesen.S u (x,u) − ṽ(x,u) = S u (a,u) − ṽ(a,u)= S ′ 0(u) − v(a,u)= S ′ 0(u) − v 0 (u)= 0.4.6 Geometrische Optik <strong>und</strong> Eikonalgleichung In 4.4.2 wurde gezeigt, daß dieHamiltonfunktion zum Fermatschen Prinzip des kürzesten Lichtweges durchH(x,u,v) = − √ n(x,u) 2 − v 2 ,−n(x,u) < v < n(x,u)75
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VorlesungsskriptVariationsrechnungu
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4.3 Hamiltonsche Differentialgleich
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oder mehrere Funktionen u : Ω →
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¨s(t) = d2 sdt 2 (t) = g cos β =
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1.2.4 Dirichletsches Integral Sei n
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die Parametrisierung einer geschlos
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Eine Möglichkeit, das Minimum eine
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der Variationsrechnung und für die
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alsoodersomit |(x,y)| 2 ≤ (x,x)(y
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also(∗)sup |f k (x) − f l (x)|
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Lemma 2.4 (Minkowski-Ungleichung) S
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µ - fast überall. Da |f(x)−f l
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- Seite 77: Hiermit folgtd[ ( ) ]S γ x,u(x),γ
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