Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

) Sei H ein reeller Hilbertraum, sei M ⊆ H eine offene und konvexe Menge und seif : M → (−∞, ∞] ein konvexes Funktional. Sei x ∈ M . Dann gilt:Existiert grad f(x), dann ist∂f(x) = {grad f(x)} .Beweis: Es gilt für alle z ∈ M und alle 0 ≤ t ≤ 1tf(z) + (1 − t)f(x) ≥ f ( (1 − t)x + tz ) = f ( x + t(z − x) ) .Wenn grad f(x) existiert, folgt hieraus1[f(z) − f(x) ≥ lim f ( x + t(z − x) ) ]− f(x)t→0+ t= ( grad f(x),z − x ) ,also grad f(x) ∈ ∂f(x). Angenommen, es sei y ∈ ∂f(x) und y ≠ grad f(x). Dannexistiert h ∈ H mit (grad f(x),h)< (y,h).‖h‖ kann so klein gewählt werden, daß x + th ∈ M ist für alle t mit 0 ≤ t ≤ 1, weil Moffen ist. Also folgt( (grad ) )f(th + x) − f(x) = t f(x),h + o(1)< t(y,h) = (y,th + x − x) ≤ f(th + x) − f(x)für genügend kleines t > 0. Dies ist ein Widerspruch, also folgty = grad f(x), also∂f(x) = {grad f(x)}.c) In Beispiel 6.4 wurde gezeigt, daß f(x) = ‖x‖ 2 konvex ist. In einem reellen Hilbertraumgiltalso grad f(x) = 2x, und somit( ) 1[ ]grad f(x),h = lim f(x + th) − f(x)t→0 t= limt (‖x + th‖2 − ‖x‖ 2 )(= lim) 2(x,h) + t‖h‖2= 2(x,h),t→0t→01∂f(x) = {2x},also, wenn x mit der Menge {x} identifiziert wird,∂f = 2I95