Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Eine Möglichkeit, das Minimum einer Funktion f : U ⊆ R m → R zu finden, bestehtdarin, die stationären Punkte von f zu bestimmen, das heißt die Punkte x ∈ U mit∇f(x) = 0.Durch Studium der höheren Ableitungen von f in den stationären Punkten können dannKriterien gefunden werden, mit denen man entscheiden kann, ob ein stationärer Punktvon f auch ein Minimum von f ist oder nicht. Die zweite Methode ist, f direkt zuminimieren: Man wählt eine Minimalfolge aus, das heißt eine Folge {x n } ∞ n=1 mit x n ∈ Uundlim f(x n) = inf f(x).n→∞ x∈UDann muß gezeigt werden, daß {x n } ∞ n=1 eine in U konvergente Teilfolge besitzt. Hierzubenötigt man Kompaktheitskriterien. Nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß genügt eszum Beispiel, daß {x n } ∞ n=1 eine beschränkte Folge ist und U abgeschlossen ist, um einekonvergente Teilfolge {x nl } ∞ l=1 auswählen zu können. Wenn f stetig ist, gilt dann fürden Grenzwert x 0 dieser Folgef(x 0 ) = f( liml→∞x nl ) = liml→∞f(x nl ) = infx∈U f(x),also ist x 0 eine Minimalstelle von f .Auch in der Variationsrechnung werden beide Methoden angewandt. Die erste Methodewurde in der Entstehung der Variationsrechnung zuerst entwickelt und heißt daherauch klassische Methode der Variationsrechnung. Die Gleichung ∇f(x) = 0 wird dabeiersetzt durch die gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungn∑i=1∂∂x i[fξi(x,u(x), ∇u(x))]= fu(x,u(x), ∇u(x)), x ∈ Ω,die als notwendige Bedingung von jeder Lösung u des Variationsproblems erfüllt werdenmuß, die zu C 2 (Ω) gehört, und die Eulersche Differentialgleichung genannt wird. Zu dieserDifferentialgleichung kommen in der Regel noch weitere Bedingungen hinzu, die dieLösung des Variationsproblems erfüllen muß und die durch die Wahl des Raumes D derzulässigen Vergleichsfunktionen bestimmt ist. Häufig tritt als Bedingung zum Beispielauf, daß die Lösung u am Rande ∂Ω mit einer vorgegebenen Funktion übereinstimmenmuß:u| ∂Ω= u 0 .Diese beiden Bedingungen zusammen bilden ein Randwertproblem für die EulerscheDifferentialgleichung, und jede Lösung u ∈ C 2 (Ω) des Variationsproblems, also jedeszweimal stetig differenzierbare Minimum des Variationsfunktionales muß dieses Randwertproblemerfüllen. Genau wie im Fall einer Funktion auf dem R n ist es aber nichtsicher, ob eine Lösung dieses Randwertproblems auch ein Minimum des Variationsfunktionalesist. Analog zu den Kriterien für Funktionen im R n , die garantieren, daß einstationärer Punkt auch ein Minimum der Funktion ist, und die man durch Untersuchungder höheren Ableitungen von f erhält, sind in der Variationsrechnung eine ganze10