gegeben ist. Die Hamilton–Jacobi Gleichung lautet in diesem FallS x (x,u) − √ n(x,u) 2 − S u (x,u) 2 = 0.Aus Symmetriegründen ersetze ich die Bezeichnung u durch y . Dann kann die Hamilton–Jacobi Gleichung auch in der FormoderS x (x,y) 2 + S y (x,y) 2 = n(x,y) 2|∇S(x,y)| 2 = n(x,y) 2geschrieben werden. Diese Gleichung nennt man in der geometrischen Optik auch Eikonalgleichung.Sei (u(x,α),v(x,α)) die Lösung von( )u ′ (x,α) = H v x,u(x,α),v(x,α)( ,) u(a,α) = αv ′ (x,α) = − H u x,u(x,α),v(x,α) , v(a,α) = v0 (α)mit v 0 (y) = S ′ 0(y) ∈ W(a,y) = (−n(a,y),n(a,y) ) . In 4.4.2 wurde gezeigt, daß v(x,α)die zweite Komponente eines Vektors V mit |V | = n(x,y) ist. WegenS y (x,y) = ṽ(x,y) = v ( x,α(x,y) ) ,|∇S(x,y)| = n(x,y)folgt∇S(x,y) = V .Es wurde auch gezeigt, daß der Tangentenvektor (1,u ′ (x,α)) an die Kurve x ↦→(x,u(x,α)) die Richtung von V , also von ∇S(x,u(x,α)) hat. Die Kurven x ↦→(x,u(x,α)) sind also die Kurven des steilsten Anstiegs der Funktion S(x,y), sie stehensenkrecht auf den Niveaulinien S(x,y) = const von S .Schreibt man zum Beispiel die Anfangsbedingung S 0 (y) = 0 vor (also v 0 (y) = S ′ 0(y) =0 ) , dann ist die Gerade {a} × R selbst eine Niveaulinie von S . Die Kurven x ↦→(x,u(x,α)) beginnen also im Punkt (a,α) senkrecht zu dieser Geraden:Zeichnung - NiveaulinienIn diesem Beispiel ist die Gerade {a} × R eine “leuchtende Linie“ . Die Kurven x ↦→76
(x,u(x,α)) sind die von dieser Linie ausgehenden Lichtstrahlen. Entlang der Lichtstrahlen,also jeweils in Richtung von ∇S , breitet sich das Licht mit der Geschwindigkeit1= 1aus. Daher ist die Niveaulinie S(x,y) = t eine Linie, die alle Punkten(x,y) |∇S(x,y)|auf den Lichtstrahlen verbindet, die vom Licht zum Zeitpunkt t erreicht werden. Wenn(x 1 ,y 1 ) <strong>und</strong> (x 2 ,y 2 ) zwei Punkte auf demselben Lichtstrahl sind, dann gibt die DifferenzS(x 2 ,y 2 ) − S(x 1 ,y 1 )die Zeit an, die das Licht entlang des Lichtstrahles vom Punkt (x 1 ,y 1 ) zum Punkt (x 2 ,y 2 )benötigt.77
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VorlesungsskriptVariationsrechnungu
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4.3 Hamiltonsche Differentialgleich
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oder mehrere Funktionen u : Ω →
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¨s(t) = d2 sdt 2 (t) = g cos β =
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1.2.4 Dirichletsches Integral Sei n
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die Parametrisierung einer geschlos
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Eine Möglichkeit, das Minimum eine
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der Variationsrechnung und für die
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alsoodersomit |(x,y)| 2 ≤ (x,x)(y
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also(∗)sup |f k (x) − f l (x)|
- Seite 23 und 24:
Lemma 2.4 (Minkowski-Ungleichung) S
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µ - fast überall. Da |f(x)−f l
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Satz 2.7 (Vollständigkeit der Sobo
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- Seite 33 und 34: Beweis: Sei E ⊆ Ω meßbar und be
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- Seite 37 und 38: Wegen V i ⊆ U i ist dist(V i ,
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- Seite 65 und 66: Wäre nun y ≠ z , dann folgtef(z)
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- Seite 69 und 70: also0 = d dt J(w + tϕ) | t=0∫ b
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- Seite 75 und 76: 4.4.5 Der Fall f(x,u,ξ) = f(u,ξ)
- Seite 77 und 78: Hiermit folgtd[ ( ) ]S γ x,u(x),γ
- Seite 79: für alle (x,u) ∈ U . Ich werde z
- Seite 83 und 84: Zum Beweis des Satzes genügt es al
- Seite 85 und 86: Satz 5.9 (Trennungssatz) Sei H ein
- Seite 87 und 88: gelte lim n→∞ f(x n ) = f(x) f
- Seite 89 und 90: eine stetige, (komplex) lineare Abb
- Seite 91 und 92: Beweis: Sei {x n } ∞ n=1 ⊆ B 1
- Seite 93 und 94: 6 Konvexe Funktionale6.1 Unterhalbs
- Seite 95 und 96: Lemma 6.6 Sei H ein Hilbertraum, se
- Seite 97 und 98: also istt(x,λ) + (1 − t)(y,µ) =
- Seite 99 und 100: ) Sei H ein reeller Hilbertraum, se
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- Seite 105 und 106: Beweis: Seien v 1 ,v 2 ∈ M(F,b) u
- Seite 107 und 108: für alle u ∈ M . Für alle ander
- Seite 109 und 110: folglichund somit∫ x1y 1|y 1|u(z)
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- Seite 119 und 120: für fast alle x ∈ ∂Ω. Wegen j
- Seite 121 und 122: =+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t
- Seite 123 und 124: .) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|
- Seite 125 und 126: [19] A. Sommerfeld: Partielle Diffe
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