Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

gegeben ist. Die Hamilton–Jacobi Gleichung lautet in diesem FallS x (x,u) − √ n(x,u) 2 − S u (x,u) 2 = 0.Aus Symmetriegründen ersetze ich die Bezeichnung u durch y . Dann kann die Hamilton–Jacobi Gleichung auch in der FormoderS x (x,y) 2 + S y (x,y) 2 = n(x,y) 2|∇S(x,y)| 2 = n(x,y) 2geschrieben werden. Diese Gleichung nennt man in der geometrischen Optik auch Eikonalgleichung.Sei (u(x,α),v(x,α)) die Lösung von( )u ′ (x,α) = H v x,u(x,α),v(x,α)( ,) u(a,α) = αv ′ (x,α) = − H u x,u(x,α),v(x,α) , v(a,α) = v0 (α)mit v 0 (y) = S ′ 0(y) ∈ W(a,y) = (−n(a,y),n(a,y) ) . In 4.4.2 wurde gezeigt, daß v(x,α)die zweite Komponente eines Vektors V mit |V | = n(x,y) ist. WegenS y (x,y) = ṽ(x,y) = v ( x,α(x,y) ) ,|∇S(x,y)| = n(x,y)folgt∇S(x,y) = V .Es wurde auch gezeigt, daß der Tangentenvektor (1,u ′ (x,α)) an die Kurve x ↦→(x,u(x,α)) die Richtung von V , also von ∇S(x,u(x,α)) hat. Die Kurven x ↦→(x,u(x,α)) sind also die Kurven des steilsten Anstiegs der Funktion S(x,y), sie stehensenkrecht auf den Niveaulinien S(x,y) = const von S .Schreibt man zum Beispiel die Anfangsbedingung S 0 (y) = 0 vor (also v 0 (y) = S ′ 0(y) =0 ) , dann ist die Gerade {a} × R selbst eine Niveaulinie von S . Die Kurven x ↦→(x,u(x,α)) beginnen also im Punkt (a,α) senkrecht zu dieser Geraden:Zeichnung - NiveaulinienIn diesem Beispiel ist die Gerade {a} × R eine “leuchtende Linie“ . Die Kurven x ↦→76