Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Also hat ηf die schwache partielle Ableitung∂∂x if η + f ∂∂x iη ∈ L p (Ω) .Für die zweiten Ableitungen ergibt sich die Aussage durch Anwendung dieser Schlüsseauf ( ∂∂x if)η und f ∂∂x iη , und entsprechend geht man bei den höheren Ableitungen vor.Beweis von Satz 2.8: Sei 1 ≤ p < ∞ , Ω ⊆ R n sei eine offene Menge, f ∈ H p m(Ω) undsei ε > 0 . Zum Beweis des Satzes muß eine Funktion g ∈ C p ∞(Ω) konstruiert werden mit‖f − g‖ p,m,Ω < ε .Sei {U i } ∞ i=1 eine offene, lokalendliche Überdeckung von Ω , und sei {η i } ∞ i=1 eine dieserÜberdeckung untergeordnete Zerlegung der Eins auf Ω . Nach 2.3.3 und Lemma 2.17gibt es solche Überdeckungen und eine Zerlegung der Eins.Da η i ∈ ◦ C∞(U i ) ist, ist nach Lemma 2.18 η i f ∈ H p m(U i ) mit supp (η i f) ⊆ supp η i ⊂⊂U i . Nach Folgerung 2.16 gibt es eine Funktion f i ∈ ◦ C∞(U i ) mit‖η i f − f i ‖ p,m,Ω < ε 2 i .Setze g(x) = ∑ ∞i=1 f i(x) , wobei für jedes x ∈ Ω nur eine endliche Anzahl der Summandenvon Null verschieden ist. Also gilt g ∈ C ∞ (Ω) , und∞∑ ∞∑‖f − g‖ p,m,Ω = ‖ η i f − f i ‖ p,m,Ω= ‖≤