4.2 HamiltonfunktionDefinition 4.5 Sei a < b,f : [a,b] × R × R → R. Dann heißt die Funktion H :[a,b] × R × R → [−∞, ∞]( )H(x,u,v) = sup vξ − f(x,u,ξ)ξ∈R ndie Hamiltonfunktion von f . H ist die Legendretransformierte von f(x,u,ξ) bezüglichder Variablen ξ .Satz 4.6 (Eigenschaften der Hamiltonfunktion) Sei f ∈ C 2 ([a,b] ×R×R) so daßdie Funktion ξ ↦→ f(x,u,ξ) strikt konvex ist für alle (x,u) ∈ [a,b] × R. Für (x,u) ∈[a,b] × R seiW(x,u) = { f ξ (x,u,ξ) : ξ ∈ R } ,W = { (x,u,v) : (x,u) ∈ [a,b] × R,v ∈ W(x,u) } ,<strong>und</strong> sei H die Hamiltonfunktion von f . Dann ist H ∈ C 1 (W, R), <strong>und</strong> die Funktionv ↦→ H(x,u,v) : W(x,u) → R ist konvex. Sei (u,v) ∈ C 2 ([a,b]) × C 1 ([a,b]) mit(x,u(x),v(x)) ∈ W für alle x ∈ [a,b] eine Lösung vonin [a,b]. Dann ist u eine Lösung der Eulergleichungu ′ (x) = H v(x,u(x),v(x)v ′ (x) = − H u(x,u(x),v(x)) (1)d[ (f ξ x,u(x),u ′ (x) )] (= f u x,u(x),u ′ (x) ) (2)dxin [a,b]. Wenn umgekehrt u ∈ C 2 ([a,b], R) eine Lösung von (2) ist, dann ist die Funktion(u,v) mitv(x) = f ξ(x,u(x),u ′ (x) )eine Lösung von (1). Gilt außerdemf(x,u,ξ)lim|ξ|→∞ |ξ|= ∞für alle (x,u) ∈ [a,b] × R, dann ist W(x,u) = R für alle (x,u) ∈ [a,b] × R <strong>und</strong> somitW = [a,b] × R × R.Beweis: Ich beweise den Satz nur unter der Voraussetzung, daß f ξξ (x,u,ξ) > 0 seifür alle (x,u,ξ) ∈ [a,b] × R × R. Diese Voraussetzung ist etwas stärker als die strikteKonvexität von ξ ↦→ f(x,u,ξ). Aus Lemma 4.4 (i) folgt, daß v ↦→ H(x,u,v) konvex ist.Nach Lemma 4.4 (v) ist ξ ↦→ f ξ (x,u,ξ) : R → W(x,u) injektiv. Sei v ↦→ g(x,u,v) :W(x,u) → R die Inverse. Dann giltv = f ξ(x,u,g(x,u,v)).62
Wegen f ξξ (x,u,g(x,u,v)) > 0 folgt hieraus <strong>und</strong> aus dem Satz über inplizite Funktionen,daß g : W → R stetig differenzierbar ist. Nach Lemma 4.4 (iv) ist v ↦→ H(x,u,v) :W(x,u) → R stetig differenzierbar, <strong>und</strong> nach Lemma 4.4 (iii) giltH ( x,u,f ξ (x,u,ξ) ) = f ξ (x,u,ξ) · ξ − f(x,u,ξ).Durch Ableiten dieser Gleichung nach ξ folgtH v(x,u,fξ (x,u,ξ) ) f ξξ (x,u,ξ) = f ξξ (x,u,ξ) · ξ + f ξ (x,u,ξ) − f ξ (x,u,ξ),also [ (H v x,u,fξ (x,u,ξ) ) ]− ξ · f ξξ (x,u,ξ) = 0,<strong>und</strong> folglichH v(x,u,fξ (x,u,ξ) ) = ξfür alle ξ ∈ R n , weil f ξξ (x,u,ξ) ≠ 0 ist. Für ξ = g(x,u,v) folgtH v (x,u,v) = g(x,u,v) ∈ C 1 (W).Durch Integration folgt hieraus H ∈ C 1 (W). Fallsf(x,u,ξ)lim|ξ|→∞ |ξ|= ∞gilt, folgt aus Lemma 4.4 (v), daß ξ ↦→ f ξ (x,u,ξ) : R → R bijektiv ist, also W(x,u) = Rgilt. Um die verbleibenden Behauptungen zu beweisen benütze ich, daß nach Lemma 4.4(v) giltH(x,u,v) = v · g(x,u,v) − f ( x,u,g(x,u,v) ) .Wegen g ∈ C 1 (W) resultiert also für alle (x,u,v) ∈ WH u (x,u,v) = v · g u (x,u,v) − f u(x,u,g(x,u,v))Wegen f ξ(x,u,g(x,u,v))= v folgt alsosowie=( )− f ξ x,u,g(x,u,v) gu (x,u,v)[ ( ) ]v − f ξ x,u,g(x,u,v) g u (x,u,v)− f u(x,u,g(x,u,v)).H u (x,u,v) = −f u(x,u,g(x,u,v))H v (x,u,v) = g(x,u,v).Sei nun u ∈ C 2 ([a,b]) eine Lösung von (2). Man definiertv(x) = f ξ(x,u, (x),u ′ (x) ) .63
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VorlesungsskriptVariationsrechnungu
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4.3 Hamiltonsche Differentialgleich
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oder mehrere Funktionen u : Ω →
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¨s(t) = d2 sdt 2 (t) = g cos β =
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1.2.4 Dirichletsches Integral Sei n
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die Parametrisierung einer geschlos
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Eine Möglichkeit, das Minimum eine
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8 Existenztheorie für das Hinderni
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für fast alle x ∈ ∂Ω. Wegen j
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=+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t
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.) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|
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[19] A. Sommerfeld: Partielle Diffe
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