Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

7 Direkte Methoden der Variationsrechnung7.1 Konvexe Variationsfunktionale, Existenz eines Minimums In diesem Abschnittwerde ich die Ergebnisse der beiden vorangehenden Abschnitte benützen, um dieExistenz der Lösung von Variationsproblemen zu beweisen.Die dabei angewandten Beweismethoden heißen direkte Methoden der Variationsrechnung.Ich studiere das folgende Variationsproblem im R n : Sei Ω ⊆ R n , sei b einenichtnegative Zahl oder sei b = +∞, und sei F : R n → R. Gesucht ist eine Funktionu : Ω → R, die für alle Punkte x des Randes ∂Ω von Ω die Bedingungerfüllt, und für die das Integral∫0 ≤ u(x) ≤ bΩF ( ∇u(x) ) dxunter allen derartigen Funktionen einen Minimalwert annimmt. Diese Randbedingungheißt “Hindernisrandbedingung“und ist allgemeiner als die früher betrachtete“Dirichletsche Randbedingung“. Für b = 0 erhält man jedoch die homogene DirichletscheRandbedingungu(x) = 0, x ∈ ∂Ω.Der Einfachheit halber betrachte ich nur Integranden, die nicht explizit von x undu(x) abhängen. Es ist aber möglich, die folgenden Beweise auf Integranden der FormF(x,u(x), ∇u(x)) zu verallgemeinern.Bevor ich den allgemeinen Existenzsatz formulieren kann, benötige ich einige Definitionen:Wie im letzten Abschnitt werde ich in diesem Abschnitt nur reellwertige Funktionenbetrachten. Seiund˜M(b) = {u ∈ C 1 (Ω) ∩ H 1 (Ω) | ∀x ∈ ∂Ω : 0 ≤ u(x) ≤ b} ,M(b) = ˜M(b) H 1(Ω),wobei C 1 (Ω) die Menge aller Funktionen u ∈ C 1 (Ω) ist, die selbst und deren erste Ableitungenstetig auf Ω fortgesetzt werden können. Die Menge M(b) ist eine abgeschlosseneund konvexe Teilmenge des Hilbertraumes H 1 (Ω) und es gilt◦C∞(Ω) ⊆ ˜M(b) ⊆ M(b).Zum Beweis genügt es zu zeigen, daß ˜M(b) konvex ist, weil der Abschluß einer konvexenMenge wieder konvex ist. Für u,v ∈ ˜M(b) und 0 ≤ t ≤ 1 gilt aber tu + (1 − t)v ∈C 1 (Ω) ∩ H 1 (Ω) . Für x ∈ ∂Ω gilt außerdem0 ≤ tu(x) + (1 − t)v(x) ≤ tb + (1 − t)b = b ,also tu + (1 − t)v ∈ ˜M(b) , und somit ist ˜M(b) konvex.99