Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

für alle x ∈ H , d.h.f(x) > − 1Re ω h(x) + 1Reω G( (x 0 ,µ) ) = g(x) + c 0mit g(x) = − 1Re ω h(x) und c 0 = 1Re ω G( (x 0 ,µ) ) .Folgerung 6.9 Sei H ein Hilbertraum und f : H → (−∞, ∞] eine konvexe, von untenhalbstetige Funktion. Dann ist die Funktionx ↦→ f(x) + α 2 ‖x‖2für jedes α > 0 strikt konvex, von unten halbstetig und koerzitiv. Also gibt es ein eindeutigesx 0 ∈ H mitf(x 0 ) + α 2 ‖x (0‖ 2 α= min f(x) +x∈H 2 ‖x‖2) .Beweis: f(x) + α 2 ‖x‖2 ist von unten halbstetig als Summe einer von unten halbstetigenund einer stetigen Funktion. Im Beispiel 6.4 wurde gezeigt, daß die Abbildung x ↦→ ‖x‖ 2strikt konvex ist. Also ist α 2 ‖x‖2 strikt konvex, folglich nach Lemma 6.2 auch f(x) +α2 ‖x‖2 . Nach Lemma 6.8 gibt es eine Konstante c 0 ∈ R und ein reell lineares, stetigesFunktional g : H → R mit f(x) > g(x) + c 0 für alle x ∈ H . Da x ↦→ α 2 ‖x‖2 koerzitiv ist,ist also auch f(x) + α 2 ‖x‖2 koerzitiv nach Lemma 6.6. Der Rest der Behauptung ergibtsich nun aus Satz 6.7.6.3 Subdifferentiale Für den Rest dieses Kapitels sei H immer ein reeller Hilbertraum.Dies ist keine Einschränkung der Allgemeinheit, weil jeder Hilbertraum mit demSkalarprodukt Re (·, ·) zu einem reellen Hilbertraum wird.Definition 6.10 Seien M ⊆ H und f : M → (−∞, ∞]. Das Subdifferential ∂f vonf ist eine Abbildung ∂f : M → P(H)(= Potenzmenge von H), die folgendermaßendefiniert isty ∈ ∂f(x) ⇐⇒ ∀ξ ∈ M : f(ξ) ≥ (y,ξ − x) + f(x).6.3.1 Beispiele für Subdifferentiale. a) Sei H = R und sei f : R → R definiertdurch⎧⎨ 0, x ≤ 0f(x) = 1, 0 < x ≤ 1⎩∞, x > 1Dann gilt⎧⎪⎨∂f(x) =⎪⎩{0}, x < 0{y ∈ R | 0 ≤ y ≤ 1}, x = 0∅, 0 < x < 1{y ∈ R | 1 ≤ y}, x = 1∅, x > 1.94