Variationsrechnung und SobolevrÃ¤ume - Fachbereich Mathematik ...

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Lemma 2.17 Sei Ω ⊆ R n offen und {U i } ∞ i=1 eine offene, lokalendliche Überdeckungvon Ω. Ist jedes der U i beschränkt mit U i ⊆ Ω, dann existiert eine dieser Überdeckunguntergeordnete Zerlegung der Eins {η i } ∞ i=1 .Beweis: Durch Induktion können wir eine Folge offener Mengen {V i } ∞ i=1 mit V i ⊆ U i∞⋃und mit V i = Ω finden. (Also ist auch {V i } ∞ i=1 eine offene, lokalendliche Überdeckungi=1von Ω aus beschränkten Mengen.)Dann seien V 1 ,...,V m so gewählt, daßm⋃Ω = ( V i ) ∪ (i=1∞⋃i=m+1gilt. Für die abgeschlossene und beschränkte, also kompakte Menge ∂U m+1 gilt dannalso sogard.h.U i )∂U m+1 ∩ U m+1 = ∅ undm⋃∂U m+1 ⊆ U m+1 ⊆ Ω = ( V i ) ∪ (m⋃∂U m+1 ⊆ ( V i ) ∪ (i=1i=1∞⋃i=m+2∞⋃i=m+1U i ) = MU i ) ,dist(Ω\M , ∂U m+1 ) ≥ dist(R n \M , ∂U m+1 ) = δ > 0 .Setze V m+1 = {x ∈ U m+1 | dist(x,∂U m+1 ) > δ } . Dann folgt2m+1⋃Ω = ( V i ) ∪ (i=1Für die so konstruierte Folge {V i } ∞ i=1 gilt nunΩ =∞⋃i=m+2∞⋃V i .i=1Denn für x ∈ Ω gibt es höchstens endlich viele i 1 ,...,i k mit x ∈ U il , l = 1,...,k . Alsofolgt∞⋃⋃i k ∞⋃x ∉ U j , somit x ∈ V j ⊆ V j ,d.h.j=i k +1Ω =∞⋃V j .j=1j=1U i ) .j=132
Wegen V i ⊆ U i ist dist(V i , ∂U i ) = δ i > 0 . Deswegen kann man eine offene ZwischenmengeE i wählen (etwa E i = ⋃x∈V iB δi /2(x) ) mitV i ⊆ E i ⊆ E i ⊆ U i ,alsodist(∂E i , V i ∪ (R n \U i )) = ε i > 0 .Für eine Dirac-Folge {ϕ ε } ε>0 zu ϕ ∈ C∞(B ◦ 1 (0) ) setze dann∫˜η i (x) = (ϕ εi ∗ χ Ei )(x) = ϕ εi (x − y)dy .E iWegen ϕ εi ∈ C∞( ◦ Bεi (0) ) ∫, ϕ εi (z)dz = 1 ist dann ˜η i ∈ C∞(U ◦ i ) mit|z|
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Seite 4 und 5: 4.3 Hamiltonsche Differentialgleich
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Seite 8 und 9: ¨s(t) = d2 sdt 2 (t) = g cos β =
Seite 10 und 11: 1.2.4 Dirichletsches Integral Sei n
Seite 12 und 13: die Parametrisierung einer geschlos
Seite 14 und 15: Eine Möglichkeit, das Minimum eine
Seite 16 und 17: der Variationsrechnung und für die
Seite 18: alsoodersomit |(x,y)| 2 ≤ (x,x)(y
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Seite 23 und 24: Lemma 2.4 (Minkowski-Ungleichung) S
Seite 25 und 26: µ - fast überall. Da |f(x)−f l
Seite 27 und 28: Satz 2.7 (Vollständigkeit der Sobo
Seite 29 und 30: des Hilbertraumes H m (Ω) , also s
Seite 31 und 32: 2.3.1 Dirac-Familie Eine Familie {
Seite 33 und 34: Beweis: Sei E ⊆ Ω meßbar und be
Seite 35: für alle x mit dist(x, supp u) >
Seite 39 und 40: Beweis: Sei ϕ ∈ C∞(Ω) ◦ , s
Seite 41 und 42: alsof(x) ≥ f(y) + ∇f(y) · (x
Seite 43 und 44: 0 = d dt I(u + tϕ) | t=0= d dt==
Seite 45 und 46: Teilmenge von [a,b], auf der sich u
Seite 47 und 48: für alle x ∈ [−1, 1]. Wenn u s
Seite 49 und 50: alsou ′ (x) = c x .Die allgemeine
Seite 51 und 52: Beweis: Sei a < y < b. Seiχ y (x)
Seite 53 und 54: Also ist u ∈ C 2 ([a,b]) eine Lö
Seite 55 und 56: 3.2.5 Wirtingersche Ungleichung Sei
Seite 57 und 58: Weiter muß gezeigt werden, daß {u
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Seite 61 und 62: nichtleere, konvexe und offene Meng
Seite 63 und 64: Beweis: (i) Seien y,z ∈ R n und t
Seite 65 und 66: Wäre nun y ≠ z , dann folgtef(z)
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Seite 69 und 70: also0 = d dt J(w + tϕ) | t=0∫ b
Seite 71 und 72: In kanonischer Form lauten die Eule
Seite 73 und 74: Man kann diese Gleichungen folgende
Seite 75 und 76: 4.4.5 Der Fall f(x,u,ξ) = f(u,ξ)
Seite 77 und 78: Hiermit folgtd[ ( ) ]S γ x,u(x),γ
Seite 79 und 80: für alle (x,u) ∈ U . Ich werde z
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Seite 83 und 84: Zum Beweis des Satzes genügt es al
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gelte lim n→∞ f(x n ) = f(x) f
Seite 89 und 90:
eine stetige, (komplex) lineare Abb
Seite 91 und 92:
Beweis: Sei {x n } ∞ n=1 ⊆ B 1
Seite 93 und 94:
6 Konvexe Funktionale6.1 Unterhalbs
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Lemma 6.6 Sei H ein Hilbertraum, se
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also istt(x,λ) + (1 − t)(y,µ) =
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) Sei H ein reeller Hilbertraum, se
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für alle x ∈ H . Dann nimmt f +g
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7 Direkte Methoden der Variationsre
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Beweis: Seien v 1 ,v 2 ∈ M(F,b) u
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für alle u ∈ M . Für alle ander
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folglichund somit∫ x1y 1|y 1|u(z)
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dem Satz von Beppo Levi1(w,v − u)
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weil man dann in (∗) v = u±ϕ se
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für alle ξ ∈ R n . Dann gilt∂
Seite 117 und 118:
8 Existenztheorie für das Hinderni
Seite 119 und 120:
für fast alle x ∈ ∂Ω. Wegen j
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=+≤=∫1 [lim |t∇v − (1 − t
Seite 123 und 124:
.) u ∈ M und∫ []1Ω 2 |∇u(x)|
Seite 125 und 126:
[19] A. Sommerfeld: Partielle Diffe
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