Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Beweis: Sei E ⊆ Ω meßbar und beschränkt, und sei E ⊆ Ω , also dist(E, R n \Ω) > 0 .Sei {ϕ ε } ε>0 wie im vorangehenden Beweis und setze∫φ ε (x) = ϕ ε (x − y)dy = ϕ ε ∗ χ E .Dann folgt φ ε → χ E in L p (R n ) nach Satz 4.5. Außerdem gilt∫∫(∗)|φ ε (x)| ≤ ϕ ε (x − y)dy ≤ ϕ ε (x − y)dy = 1 .ER nEWeil ∫ |φR n ε (x)−χ E (x)|dx → 0 gilt für ε → 0 , also |φ ε (x)−χ E (x)| in der L 1 –Norm gegenNull konvergiert, gibt es nach einem Resultat aus der Lebesgueschen Integrationstheorieeine Folge φ εk mit φ εk (x) − χ E (x) → 0 fast überall in R n . Zusammen mit (∗) folgt ausdem Satz von Lebesgue somit∫(gφ εk − gχ E )dx → 0 ,also, wegen φ εk ∈ C∞(Ω) ◦ für k genügend groß,∫g dx = lim g φ εk dx = 0 .E k→∞∫ΩNun sei Ω δ wie im vorangehenden Beweis und setzeΩE ± = {x ∈ Ω δ | ±g(x) > 0}(bei reellwertigem g ; sonst betrachte Reg und Im g getrennt). Es folgt∫|g|dx =Ω δ ∩ B1δ (0) ∫g dx −E +∫g dx = 0 .E −Da Ω = ⋃ δ>0Ω δ folgt g = 0 f.ü. auf Ω .2.3.2 Approximation von Funktionen in Sobolevräumen Sei 1 ≤ p < ∞ , seiΩ ⊆ R n offen und zu ϕ ∈ C∞(B ◦ 1 (0)) seiϕ ε (x) = ε −n ϕ( x ε )eine Dirac-Familie. Für u ∈ Hm(Ω) p setze∫u ε (x) = ϕ ε ∗ u = ϕ ε (x − y)u(y)dy .Ω29