Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

µ – fast überall. Da |f(x)−f l (x)| p ≥ 0 ist, kann das Lemma von Fatou erneut angewendetwerden, und es folgt∫∫|f(x) − f l (x)| p dµ(x) = lim |f k(x) − f l (x)| p dµ(x)MMk→∞∫= lim inf |f k(x) − f l (x)| p dµ(x)Mk→∞∫≤ lim inf |f k (x) − f l (x)| p dµ(x)k→∞= ( lim infk→∞≤=M‖f k − f l ‖ p) p( ∑k−1) plim inf ‖f i+1 − f i ‖ pk→∞i=l( ∑ ∞ ) p‖f i+1 − f i ‖ p → 0 für l → ∞.i=lHieraus folgt f − f l ∈ L p (M) , und damit nach der Minkowskischen Ungleichung auchf ∈ L p (M) . Außerdem folgt hieraus, daß { f k} ∞k=1 in Lp (M) gegen f konvergiert. Damitist der Satz bewiesen.2.2 Der Sobolevraum H p m2.2.1 Schwache Ableitung Sei Ω ⊆ R n eine offene Menge; sei 1 ≤ p ≤ ∞ , und sei◦C∞(Ω) = {ϕ ∈ C ∞ (R n ) | suppϕ ⊆ Ω, suppϕ kompakt}.Seien u,v ∈ L p (Ω) . v heißt schwache Ableitung von u nach x i , wenn∫∫v(x)ϕ(x)dx = − u(x) ∂ ϕ(x)dx∂x igilt für alle ϕ ∈ ◦ C∞(Ω) .ΩLemma 2.6 Seien v 1 ,v 2 schwache Ableitungen nach x i von u. Dann gilt v 1 = v 2 .Beweis: Für alle ϕ ∈ C∞(Ω) ◦ gilt∫∫v 1 (x)ϕ(x)dx = −alsoΩ∫ΩΩΩu(x) ∂ ∫ϕ(x)dx = v 2 (x)ϕ(x)dx ,∂x i Ω(v 1 − v 2 )ϕdx = 0.21