Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Also ist u ∈ C 2 ([a,b]) eine Lösung der Eulergleichung genau dann wennf ( u(x),u ′ (x) ) − u ′ (x)f ξ(u(x),u ′ (x) ) = const(∗)gilt. Wie in den anderen bisher betrachteten Fällen konnte die Eulergleichung auf eineDifferentialgleichung erster Ordnung zurückgeführt werden. (Man sagt, es existiere einerstes Integral der Differentialgleichung.)In den folgenden beiden Beispielen 3.2.4 und 3.2.5 ist f von dieser Form:3.2.4 Brachistochronenproblem Ich betrachte das Brachistochronenproblem ausAbschnitt 1.2.2. Sei β < 0,( ) }D ={v ∈ C 1 [a,b], R : v(a) = 0,v(b) = −β ,und seiI(v) =∫ ba√1 + v ′ (x) 2dx = 1 ∫ b√2gv(x) 2gav −1/2 (1 + v ′2 ) 1/2 dx.Gesucht ist u ∈ D mit I(u) = min v∈D I(v). Dann ist w = −u Lösung des Brachistochronenproblems,und u stellt die Fallhöhe dar. Die Eulergleichung zu diesem Funktionallautet[ ]d u ′= − 1 dx u 1/2 (1 + u ′2 ) 1/2 2 u−3/2 (1 + u ′2 ) 1/2 ,und die Gleichung (∗) istu −1/2 (1 + u ′2 ) 1/2 − u ′ u ′u 1/2 (1 + u ′2 ) 1/2 = (1 + u′2 ) − u ′2u 1/2 (1 + u ′2 ) 1/2wobei c eine Konstante sei. Um diese Gleichung zu lösen, seiϕ(x) := arg tanu ′ (x),= u −1/2 (1 + u ′2 ) −1/2 = c ,alsoDie Eulergleichung ergibt dannu ′ (x) = tanϕ(x).u −1/2 (1 + u ′2 ) −1/2 = u −1/2 (1 + tan 2 ϕ) −1/2 = c ,alsofolglichu(x) −1/2 cosϕ(x) = c ,u(x) = 1 c 2 (cos ϕ(x)) 2.49