Variationsrechnung und Sobolevräume - Fachbereich Mathematik ...

Beweis: (i) Seien y,z ∈ R n und t ∈ [0, 1]. Dann giltf ∗( ty + (1 − t)z ) =[ (ty ) ]sup + (1 − t)z · x − f(x)x∈R n= supx∈R n [t ( y · x − f(x) ) + (1 − t) ( z · x − f(x) )]( ) ( )≤ t sup y · x − f(x) + (1 − t) sup z · x − f(x)x∈R n x∈R n= tf ∗ (y) + (1 − t)f ∗ (z)( )(ii) Es ist f ∗ (y) = sup x∈R n x · y − f(x) , also f ∗ (y) ≥ x · y − f(x), und somit f(x) ≥x · y − f ∗ (y) für alle x,y ∈ R n . Wegen((f ∗ ) ∗ (x) = sup x · y − f ∗ (y) )y∈R nfolgt(f ∗ ) ∗ (x) ≤ f(x).Sei f : R n → R konvex. Es gilt nach Definition für z ∈ R n(f ∗ ) ∗ (z) = supy∈R n (z · y − f ∗ (y) )( ( ) ) [ ]= sup z · y − sup y · x − f(x) =sup inf z · y − y · x + f(x)y∈R n x∈R n y∈R n x∈R n= supy∈R n infx∈R n [y · (z − x) + f(x)].Da f konvex ist, ist nach Satz 4.1 die Menge ∂f(z) ≠ ∅. Sei y 0 ∈ ∂f(z). Dann folgtf(x) ≥ f(z) + y 0 · (x − z),alsound somitalsoy 0 · (z − x) + f(x) ≥ f(z)infx∈R n [y0 · (z − x) + f(x) ] ≥ f(z),(f ∗ ) ∗ (z) = supy∈R n infx∈R n [y · (z − x) + f(x)]≥[inf y0 · (z − x) + f(x) ] ≥ f(z).x∈R nWegen (f ∗ ) ∗ (z) ≤ f(z) folgtfür alle z ∈ R n , also (f ∗ ) ∗ = f .(f ∗ ) ∗ (z) = f(z)59